Номер 5.46, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.46. Найдите все действительные значения $\text{x}$ и $\text{y}$, удовлетворяю-щие уравнению:

1) $\frac{i}{x} + \frac{i}{y} + \frac{1}{6} = \frac{1}{x} - \frac{1}{y} + \frac{5i}{y}$;

2) $(1 + i)x + (1 - i)y = 3 - i$;

3) $-\frac{2}{y} + xi = 3$;

4) $(2 - i)x + (1 + i)y = 5 - i$.

1)

Дано уравнение $ \frac{i}{x} + \frac{i}{y} + \frac{1}{6} = \frac{1}{x} - \frac{1}{y} + \frac{5i}{y} $. Поскольку $\text{x}$ и $\text{y}$ — действительные числа, мы можем приравнять действительные и мнимые части обеих сторон уравнения. Сначала сгруппируем действительные и мнимые части. Область допустимых значений: $x \ne 0, y \ne 0$.

Левая часть уравнения: $ \frac{1}{6} + i(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) $.

Правая часть уравнения: $ (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) + i(\frac{5}{y}) $.

Приравнивая действительные части, получаем: $ \frac{1}{6} = \frac{1}{x} - \frac{1}{y} $.

Приравнивая мнимые части, получаем: $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{y} $.

Получаем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{y} \end{cases} $

Решим второе уравнение относительно $ \frac{1}{x} $:

$ \frac{1}{x} = \frac{5}{y} - \frac{1}{y} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{4}{y} $.

Отсюда следует, что $ y = 4x $.

Подставим это соотношение в первое уравнение системы:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{4x} = \frac{1}{6} $

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$ \frac{4-1}{4x} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{3}{4x} = \frac{1}{6} $

Используя свойство пропорции, получаем $ 4x = 3 \cdot 6 = 18 $.

$ x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} $.

Теперь найдем $\text{y}$, используя соотношение $ y = 4x $:

$ y = 4 \cdot \frac{9}{2} = 18 $.

Найденные значения $\text{x}$ и $\text{y}$ не равны нулю, что соответствует области допустимых значений.

Ответ: $x = \frac{9}{2}, y = 18$.

2)

Дано уравнение $ (1 + i)x + (1 - i)y = 3 - i $. Так как $\text{x}$ и $\text{y}$ — действительные числа, раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые части в левой части уравнения.

$ x + ix + y - iy = 3 - i $

$ (x + y) + i(x - y) = 3 - i $

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравниваем их:

$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = -1 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$ (x+y) + (x-y) = 3 + (-1) $

$ 2x = 2 $

$ x = 1 $

Подставим значение $ x=1 $ в первое уравнение $ x+y=3 $:

$ 1 + y = 3 $

$ y = 2 $

Ответ: $x=1, y=2$.

3)

Дано уравнение $ \frac{2}{y} + xi = 3 $. Область допустимых значений: $y \ne 0$.

Представим правую часть в виде комплексного числа $ 3 + 0i $.

$ \frac{2}{y} + xi = 3 + 0i $

Приравниваем действительные и мнимые части левой и правой частей уравнения:

Действительная часть: $ \frac{2}{y} = 3 $.

Мнимая часть: $ x = 0 $.

Из уравнения для действительной части находим $\text{y}$:

$ 3y = 2 $

$ y = \frac{2}{3} $

Ответ: $x=0, y=\frac{2}{3}$.

4)

Дано уравнение $ (2 - i)x + (1 + i)y = 5 - i $. Так как $\text{x}$ и $\text{y}$ — действительные числа, раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые части.

$ 2x - ix + y + iy = 5 - i $

$ (2x + y) + i(-x + y) = 5 - i $

Приравниваем действительные и мнимые части:

$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ -x + y = -1 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$ (2x+y) - (-x+y) = 5 - (-1) $

$ 2x + y + x - y = 6 $

$ 3x = 6 $

$ x = 2 $

Подставим значение $ x=2 $ во второе уравнение $ -x + y = -1 $:

$ -2 + y = -1 $

$ y = -1 + 2 $

$ y = 1 $

Ответ: $x=2, y=1$.