Номер 5.41, страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.41. Найдите действительные числа а и b, удовлетворяющие уравнению

$\frac{a}{3+i} + \frac{b}{1+2i} = 1-i.$

Для решения данного уравнения необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателях дробей в левой части. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на число, сопряженное ее знаменателю.

Для первой дроби $\frac{a}{3+i}$ сопряженное к знаменателю число равно $3-i$:

$\frac{a}{3+i} = \frac{a(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{a(3-i)}{3^2 - i^2} = \frac{a(3-i)}{9 - (-1)} = \frac{a(3-i)}{10} = \frac{3a}{10} - \frac{a}{10}i$

Для второй дроби $\frac{b}{1+2i}$ сопряженное к знаменателю число равно $1-2i$:

$\frac{b}{1+2i} = \frac{b(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{b(1-2i)}{1^2 - (2i)^2} = \frac{b(1-2i)}{1 - 4i^2} = \frac{b(1-2i)}{1 - 4(-1)} = \frac{b(1-2i)}{5} = \frac{b}{5} - \frac{2b}{5}i$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$\left(\frac{3a}{10} - \frac{a}{10}i\right) + \left(\frac{b}{5} - \frac{2b}{5}i\right) = 1 - i$

Сгруппируем действительные и мнимые части в левой части уравнения:

$\left(\frac{3a}{10} + \frac{b}{5}\right) + \left(-\frac{a}{10} - \frac{2b}{5}\right)i = 1 - i$

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$\left(\frac{3a + 2b}{10}\right) - \left(\frac{a + 4b}{10}\right)i = 1 - i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Приравниваем действительные и мнимые части левой и правой сторон уравнения:

Действительная часть: $\frac{3a + 2b}{10} = 1 \implies 3a + 2b = 10$

Мнимая часть: $-\frac{a + 4b}{10} = -1 \implies a + 4b = 10$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 3a + 2b = 10 \\ a + 4b = 10 \end{cases} $

Для решения системы выразим $\text{a}$ из второго уравнения: $a = 10 - 4b$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(10 - 4b) + 2b = 10$

$30 - 12b + 2b = 10$

$30 - 10b = 10$

$-10b = 10 - 30$

$-10b = -20$

$b = 2$

Теперь найдем $\text{a}$, подставив найденное значение $\text{b}$ в выражение для $\text{a}$:

$a = 10 - 4(2) = 10 - 8 = 2$

Таким образом, действительные числа, удовлетворяющие уравнению, это $a=2$ и $b=2$.

Ответ: $a=2, b=2$.