Номер 5.38, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.38. Возведите в степень:

1) $(-1 + i)^5$;

2) $(1 + i)^{10}$.

1)

Для возведения комплексного числа в степень удобно использовать его тригонометрическую форму и формулу Муавра. Представим число $z = -1 + i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$.

Сначала найдем модуль числа $\text{r}$:

$r = |-1 + i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Затем найдем аргумент $\varphi$, решив систему:

$\cos \varphi = \frac{\text{Re}(z)}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$

$\sin \varphi = \frac{\text{Im}(z)}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Угол, для которого косинус отрицателен, а синус положителен, находится во второй координатной четверти. Следовательно, $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:

$-1 + i = \sqrt{2} \left(\cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4}\right)$.

Теперь применим формулу Муавра $[r(\cos \varphi + i \sin \varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))$ для $n=5$:

$(-1 + i)^5 = \left[\sqrt{2} \left(\cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4}\right)\right]^5 = (\sqrt{2})^5 \left(\cos\left(5 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(5 \cdot \frac{3\pi}{4}\right)\right)$.

Вычислим отдельно степень модуля и новый аргумент:

$(\sqrt{2})^5 = (\sqrt{2})^4 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

$5 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{15\pi}{4}$.

Для упрощения можно вычесть из аргумента кратное $2\pi$: $\frac{15\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4}$. Таким образом, угол $\frac{15\pi}{4}$ эквивалентен углу $-\frac{\pi}{4}$.

$\cos\left(\frac{15\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\sin\left(\frac{15\pi}{4}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим найденные значения в выражение:

$(-1 + i)^5 = 4\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} - i \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} - i \frac{4 \cdot 2}{2} = 4 - 4i$.

Ответ: $4 - 4i$.

2)

Аналогично первому пункту, представим число $z = 1 + i$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$.

Найдем модуль числа $\text{r}$:

$r = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\varphi$ из системы:

$\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Угол, для которого и косинус, и синус положительны, находится в первой координатной четверти. Следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма числа:

$1 + i = \sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)$.

Применим формулу Муавра для $n=10$:

$(1 + i)^{10} = \left[\sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)\right]^{10} = (\sqrt{2})^{10} \left(\cos\left(10 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(10 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)$.

Вычислим значения:

$(\sqrt{2})^{10} = (2^{1/2})^{10} = 2^{10/2} = 2^5 = 32$.

Новый аргумент: $10 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$.

Упростим аргумент: $\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Угол $\frac{5\pi}{2}$ эквивалентен углу $\frac{\pi}{2}$.

$\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

$\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Подставим найденные значения:

$(1 + i)^{10} = 32 (0 + i \cdot 1) = 32i$.

Ответ: $32i$.