Номер 5.32, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.32. Вычислите значение корня:

1) $\sqrt{7-24i};$

2) $\sqrt{-252-64i};$

3) $\sqrt{16-12i};$

4) $\sqrt{21+20i}.$

1)

Пусть $\sqrt{7-24i} = x+yi$, где $\text{x}$ и $\text{y}$ — действительные числа. Возведем обе части в квадрат: $(x+yi)^2 = 7-24i$, что равносильно $x^2 - y^2 + 2xyi = 7-24i$. Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений: $x^2 - y^2 = 7$ и $2xy = -24$. Также, равны модули этих чисел: $|x+yi|^2 = |7-24i|$, что дает уравнение $x^2+y^2 = \sqrt{7^2+(-24)^2} = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25$. Решим систему уравнений, состоящую из $x^2-y^2=7$ и $x^2+y^2=25$. Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 32$, откуда $x^2=16$ и $x = \pm 4$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2=18$, откуда $y^2=9$ и $y=\pm 3$. Так как произведение $xy = -12$ отрицательно, $\text{x}$ и $\text{y}$ должны иметь разные знаки. Таким образом, получаем два решения: $4-3i$ и $-4+3i$.

Ответ: $\pm(4-3i)$

2)

Пусть $\sqrt{-252-64i} = x+yi$. Возведем обе части в квадрат: $(x+yi)^2 = -252-64i$, что равносильно $x^2 - y^2 + 2xyi = -252-64i$. Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему: $x^2 - y^2 = -252$ и $2xy = -64$. Вычислим модуль: $|-252-64i| = \sqrt{(-252)^2+(-64)^2} = \sqrt{63504+4096} = \sqrt{67600} = 260$. Тогда $x^2+y^2=260$. Решим систему уравнений: $x^2-y^2=-252$ и $x^2+y^2=260$. Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 8$, откуда $x^2=4$ и $x = \pm 2$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2=512$, откуда $y^2=256$ и $y=\pm 16$. Так как произведение $xy = -32$ отрицательно, $\text{x}$ и $\text{y}$ должны иметь разные знаки. Таким образом, получаем два решения: $2-16i$ и $-2+16i$.

Ответ: $\pm(2-16i)$

3)

Пусть $\sqrt{16-12i} = x+yi$. Возведем обе части в квадрат: $(x+yi)^2 = 16-12i$, что равносильно $x^2 - y^2 + 2xyi = 16-12i$. Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему: $x^2 - y^2 = 16$ и $2xy = -12$. Вычислим модуль: $|16-12i| = \sqrt{16^2+(-12)^2} = \sqrt{256+144} = \sqrt{400} = 20$. Тогда $x^2+y^2=20$. Решим систему уравнений: $x^2-y^2=16$ и $x^2+y^2=20$. Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 36$, откуда $x^2=18$ и $x = \pm \sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2}$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2=4$, откуда $y^2=2$ и $y=\pm\sqrt{2}$. Так как произведение $xy = -6$ отрицательно, $\text{x}$ и $\text{y}$ должны иметь разные знаки. Таким образом, получаем два решения: $3\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ и $-3\sqrt{2}+i\sqrt{2}$.

Ответ: $\pm(3\sqrt{2}-i\sqrt{2})$

4)

Пусть $\sqrt{21+20i} = x+yi$. Возведем обе части в квадрат: $(x+yi)^2 = 21+20i$, что равносильно $x^2 - y^2 + 2xyi = 21+20i$. Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему: $x^2 - y^2 = 21$ и $2xy = 20$. Вычислим модуль: $|21+20i| = \sqrt{21^2+20^2} = \sqrt{441+400} = \sqrt{841} = 29$. Тогда $x^2+y^2=29$. Решим систему уравнений: $x^2-y^2=21$ и $x^2+y^2=29$. Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 50$, откуда $x^2=25$ и $x = \pm 5$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2=8$, откуда $y^2=4$ и $y=\pm 2$. Так как произведение $xy = 10$ положительно, $\text{x}$ и $\text{y}$ должны иметь одинаковые знаки. Таким образом, получаем два решения: $5+2i$ и $-5-2i$.

Ответ: $\pm(5+2i)$