Номер 5.26, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.26. Найдите значение действительного числа $\text{y}$, для которого произведение $(3 + 2i)(1 + yi)$ является:

1) действительным числом;

2) мнимым числом.

Обозначим данное произведение комплексных чисел как $\text{z}$:

$z = (3 + 2i)(1 + yi)$

Чтобы найти искомое значение $\text{y}$, сначала выполним умножение и представим результат в стандартной алгебраической форме $a + bi$.

$z = 3 \cdot 1 + 3 \cdot yi + 2i \cdot 1 + 2i \cdot yi = 3 + 3yi + 2i + 2yi^2$

Зная, что мнимая единица в квадрате равна $-1$ ($i^2 = -1$), мы можем упростить выражение:

$z = 3 + 3yi + 2i - 2y$

Теперь сгруппируем действительную ($Re(z)$) и мнимую ($Im(z)$) части числа:

$Re(z) = 3 - 2y$

$Im(z) = 3y + 2$

Таким образом, $z = (3 - 2y) + (3y + 2)i$.

1) действительным числом

Произведение является действительным числом, если его мнимая часть равна нулю.

$Im(z) = 3y + 2 = 0$

Решая это линейное уравнение, находим $\text{y}$:

$3y = -2$

$y = -\frac{2}{3}$

Ответ: $y = -\frac{2}{3}$.

2) мнимым числом

Произведение является чисто мнимым числом, если его действительная часть равна нулю.

$Re(z) = 3 - 2y = 0$

Решая это уравнение, находим $\text{y}$:

$2y = 3$

$y = \frac{3}{2}$

Ответ: $y = \frac{3}{2}$.