Номер 5.29, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.29. Используя равенство $(x + yi)^2 = a + bi$, вычислите значение квадратного корня:

1) $\sqrt{4 - 3i}$;

2) $\sqrt{3 + 4i}$;

3) $\sqrt{12 + 5i}$;

4) $\sqrt{6 + 8i}$.

1) Чтобы найти $\sqrt{4 - 3i}$, мы ищем комплексное число $x + yi$, такое что $(x + yi)^2 = 4 - 3i$.

Раскрывая скобки в левой части, получаем: $(x^2 - y^2) + 2xyi = 4 - 3i$.

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 4 \\ 2xy = -3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $\text{y}$: $y = -\frac{3}{2x}$. Подставим это в первое уравнение:

$x^2 - \left(-\frac{3}{2x}\right)^2 = 4$

$x^2 - \frac{9}{4x^2} = 4$

Умножим все на $4x^2$, чтобы избавиться от знаменателя ($x \ne 0$):

$4x^4 - 9 = 16x^2$

$4x^4 - 16x^2 - 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $u = x^2$, где $u \ge 0$:

$4u^2 - 16u - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $\text{u}$:

$u = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4(4)(-9)}}{2 \cdot 4} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 144}}{8} = \frac{16 \pm \sqrt{400}}{8} = \frac{16 \pm 20}{8}$

Так как $u = x^2 \ge 0$, мы выбираем положительный корень:

$u = \frac{16 + 20}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$

Следовательно, $x^2 = \frac{9}{2}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{9}{2}} = \pm\frac{3}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем соответствующие значения $\text{y}$ из $y = -\frac{3}{2x}$:

Если $x = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $y = -\frac{3}{2(\frac{3\sqrt{2}}{2})} = -\frac{3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Если $x = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $y = -\frac{3}{2(-\frac{3\sqrt{2}}{2})} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, мы получили два значения для квадратного корня: $\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$ и $-\frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Ответ: $\pm\left(\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\right)$.

2) Чтобы найти $\sqrt{3 + 4i}$, мы ищем комплексное число $x + yi$, такое что $(x + yi)^2 = 3 + 4i$.

$(x^2 - y^2) + 2xyi = 3 + 4i$.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ 2xy = 4 \end{cases} $

Из второго уравнения $y = \frac{4}{2x} = \frac{2}{x}$. Подставим в первое:

$x^2 - \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 3$

$x^2 - \frac{4}{x^2} = 3$

$x^4 - 4 = 3x^2$

$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$

Сделаем замену $u = x^2$ ($u \ge 0$):

$u^2 - 3u - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $u_1 = 4$ и $u_2 = -1$. Так как $u \ge 0$, подходит только $u=4$.

$x^2 = 4$, откуда $x = \pm 2$.

Найдем $y = \frac{2}{x}$:

Если $x=2$, то $y=1$.

Если $x=-2$, то $y=-1$.

Значения корня: $2+i$ и $-2-i$.

Ответ: $\pm(2+i)$.

3) Чтобы найти $\sqrt{12 + 5i}$, мы ищем комплексное число $x + yi$, такое что $(x + yi)^2 = 12 + 5i$.

$(x^2 - y^2) + 2xyi = 12 + 5i$.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12 \\ 2xy = 5 \end{cases} $

Из второго уравнения $y = \frac{5}{2x}$. Подставим в первое:

$x^2 - \left(\frac{5}{2x}\right)^2 = 12$

$x^2 - \frac{25}{4x^2} = 12$

$4x^4 - 25 = 48x^2$

$4x^4 - 48x^2 - 25 = 0$

Сделаем замену $u = x^2$ ($u \ge 0$):

$4u^2 - 48u - 25 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$u = \frac{48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4(4)(-25)}}{2 \cdot 4} = \frac{48 \pm \sqrt{2304 + 400}}{8} = \frac{48 \pm \sqrt{2704}}{8} = \frac{48 \pm 52}{8}$

Так как $u \ge 0$, выбираем $u = \frac{48+52}{8} = \frac{100}{8} = \frac{25}{2}$.

$x^2 = \frac{25}{2}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{25}{2}} = \pm\frac{5}{\sqrt{2}} = \pm\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Найдем $y = \frac{5}{2x}$:

Если $x = \frac{5\sqrt{2}}{2}$, то $y = \frac{5}{2(\frac{5\sqrt{2}}{2})} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Если $x = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$, то $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значения корня: $\frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ и $-\frac{5\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Ответ: $\pm\left(\frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right)$.

4) Чтобы найти $\sqrt{6 + 8i}$, мы ищем комплексное число $x + yi$, такое что $(x + yi)^2 = 6 + 8i$.

$(x^2 - y^2) + 2xyi = 6 + 8i$.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 6 \\ 2xy = 8 \end{cases} $

Из второго уравнения $y = \frac{8}{2x} = \frac{4}{x}$. Подставим в первое:

$x^2 - \left(\frac{4}{x}\right)^2 = 6$

$x^2 - \frac{16}{x^2} = 6$

$x^4 - 16 = 6x^2$

$x^4 - 6x^2 - 16 = 0$

Сделаем замену $u = x^2$ ($u \ge 0$):

$u^2 - 6u - 16 = 0$

По теореме Виета, корни $u_1 = 8$ и $u_2 = -2$. Так как $u \ge 0$, подходит только $u=8$.

$x^2 = 8$, откуда $x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Найдем $y = \frac{4}{x}$:

Если $x=2\sqrt{2}$, то $y = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Если $x=-2\sqrt{2}$, то $y = -\sqrt{2}$.

Значения корня: $2\sqrt{2} + \sqrt{2}i$ и $-2\sqrt{2} - \sqrt{2}i$.

Ответ: $\pm(2\sqrt{2} + \sqrt{2}i)$.