Номер 5.36, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.36. Представьте следующие числа в виде $x + yi$:

1) $\frac{3-2i}{i}$;

2) $\frac{p+qi}{r+si}$;

3) $\frac{(2+i)(3-2i)}{1+i}$;

4) $\frac{(1-i)^3}{(2+i)^2}$.

1)

Чтобы представить комплексное число в виде $x + yi$, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $\text{i}$ является $-i$.

$ \frac{3 - 2i}{i} = \frac{(3 - 2i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i + 2i^2}{-i^2} $

Используя свойство мнимой единицы $i^2 = -1$, упростим выражение:

$ \frac{-3i + 2(-1)}{-(-1)} = \frac{-2 - 3i}{1} = -2 - 3i $

Ответ: $-2 - 3i$

2)

Для дроби $ \frac{p + qi}{r + si} $ умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $r - si$.

$ \frac{p + qi}{r + si} = \frac{(p + qi)(r - si)}{(r + si)(r - si)} $

Раскроем скобки в числителе и знаменателе. В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

Числитель: $ (p + qi)(r - si) = pr - psi + qri - qsi^2 = pr - psi + qri - qs(-1) = (pr + qs) + (qr - ps)i $.

Знаменатель: $ (r + si)(r - si) = r^2 - (si)^2 = r^2 - s^2i^2 = r^2 - s^2(-1) = r^2 + s^2 $.

Объединяем числитель и знаменатель и разделяем на действительную и мнимую части:

$ \frac{(pr + qs) + (qr - ps)i}{r^2 + s^2} = \frac{pr + qs}{r^2 + s^2} + \frac{qr - ps}{r^2 + s^2}i $

Ответ: $ \frac{pr + qs}{r^2 + s^2} + \frac{qr - ps}{r^2 + s^2}i $

3)

Сначала упростим числитель, перемножив комплексные числа:

$ (2 + i)(3 - 2i) = 2 \cdot 3 + 2(-2i) + i \cdot 3 + i(-2i) = 6 - 4i + 3i - 2i^2 = 6 - i - 2(-1) = 8 - i $

Теперь выражение имеет вид $ \frac{8 - i}{1 + i} $. Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $1 - i$.

$ \frac{8 - i}{1 + i} = \frac{(8 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{8 - 8i - i + i^2}{1^2 - i^2} = \frac{8 - 9i - 1}{1 - (-1)} = \frac{7 - 9i}{2} $

Представим результат в виде $x + yi$:

$ \frac{7}{2} - \frac{9}{2}i $

Ответ: $ \frac{7}{2} - \frac{9}{2}i $

4)

Упростим числитель и знаменатель по отдельности. Сначала найдем $ (1 - i)^2 $:

$ (1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i $

Теперь возведем это в 4-ю степень, чтобы получить 8-ю степень:

$ (1 - i)^8 = ((1 - i)^2)^4 = (-2i)^4 = (-2)^4 \cdot i^4 = 16 \cdot (i^2)^2 = 16 \cdot (-1)^2 = 16 $

Теперь упростим знаменатель:

$ (2 + i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i $

Исходное выражение принимает вид $ \frac{16}{3 + 4i} $. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $3 - 4i$:

$ \frac{16}{3 + 4i} = \frac{16(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{48 - 64i}{3^2 - (4i)^2} = \frac{48 - 64i}{9 - 16i^2} = \frac{48 - 64i}{9 + 16} = \frac{48 - 64i}{25} $

Разделим на действительную и мнимую части:

$ \frac{48}{25} - \frac{64}{25}i $

Ответ: $ \frac{48}{25} - \frac{64}{25}i $