Номер 5.40, страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.40. Докажите тождество:

1) $ \frac{2-i}{3-i} = \frac{13+4i}{17-9i} $;

2) $ \frac{\sqrt{m}+i\sqrt{n}}{\sqrt{m}-i\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}+i\sqrt{m}}{\sqrt{n}-i\sqrt{m}} $.

1)

Докажем тождество: $ \frac{2-i}{3-i} = \frac{13+4i}{17-9i} $.

Для проверки тождества приведем обе части к алгебраической форме $a+bi$.

Преобразуем левую часть, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:

$ \frac{2-i}{3-i} = \frac{(2-i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{2 \cdot 3 + 2i - 3i - i^2}{3^2 - (i)^2} = \frac{6-i-(-1)}{9-(-1)} = \frac{7-i}{10} = \frac{7}{10} - \frac{1}{10}i $.

Преобразуем правую часть аналогичным образом:

$ \frac{13+4i}{17-9i} = \frac{(13+4i)(17+9i)}{(17-9i)(17+9i)} = \frac{13 \cdot 17 + 13 \cdot 9i + 4i \cdot 17 + 4i \cdot 9i}{17^2 - (9i)^2} = \frac{221 + 117i + 68i + 36i^2}{289 - 81i^2} = \frac{221 + 185i - 36}{289 + 81} = \frac{185 + 185i}{370} = \frac{185(1+i)}{370} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i $.

Сравним полученные результаты:

$ \frac{7}{10} - \frac{1}{10}i \neq \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i $

Поскольку левая и правая части равенства не равны, исходное утверждение не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы в числителе левой части стояло $2+i$ вместо $2-i$, тождество было бы верным. Докажем это:

$ \frac{2+i}{3-i} = \frac{13+4i}{17-9i} $

Воспользуемся свойством пропорции: равенство дробей $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ равносильно равенству произведений $ ad=bc $.

Левая часть пропорции (произведение крайних членов):

$ (2+i)(17-9i) = 2 \cdot 17 - 2 \cdot 9i + i \cdot 17 - 9i^2 = 34 - 18i + 17i - 9(-1) = 34 - i + 9 = 43 - i $.

Правая часть пропорции (произведение средних членов):

$ (3-i)(13+4i) = 3 \cdot 13 + 3 \cdot 4i - i \cdot 13 - 4i^2 = 39 + 12i - 13i - 4(-1) = 39 - i + 4 = 43 - i $.

Так как $ 43 - i = 43 - i $, исправленное тождество доказано.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством, так как $ \frac{2-i}{3-i} = \frac{7-i}{10} $, а $ \frac{13+4i}{17-9i} = \frac{1+i}{2} $. Тождество было бы верным, если бы оно имело вид $ \frac{2+i}{3-i} = \frac{13+4i}{17-9i} $.

2)

Докажем тождество: $ \frac{\sqrt{m}+i\sqrt{n}}{\sqrt{m}-i\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}+i\sqrt{m}}{\sqrt{n}-i\sqrt{m}} $, где $m, n$ – неотрицательные действительные числа.

Для доказательства упростим левую и правую части, приведя их к алгебраической форме.

Преобразуем левую часть:

$ \frac{\sqrt{m}+i\sqrt{n}}{\sqrt{m}-i\sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m}+i\sqrt{n})(\sqrt{m}+i\sqrt{n})}{(\sqrt{m}-i\sqrt{n})(\sqrt{m}+i\sqrt{n})} = \frac{(\sqrt{m})^2 + 2i\sqrt{m}\sqrt{n} + (i\sqrt{n})^2}{(\sqrt{m})^2 - (i\sqrt{n})^2} = \frac{m + 2i\sqrt{mn} - n}{m - (-n)} = \frac{m-n+2i\sqrt{mn}}{m+n} $.

Преобразуем правую часть:

$ \frac{\sqrt{n}+i\sqrt{m}}{\sqrt{n}-i\sqrt{m}} = \frac{(\sqrt{n}+i\sqrt{m})(\sqrt{n}+i\sqrt{m})}{(\sqrt{n}-i\sqrt{m})(\sqrt{n}+i\sqrt{m})} = \frac{(\sqrt{n})^2 + 2i\sqrt{n}\sqrt{m} + (i\sqrt{m})^2}{(\sqrt{n})^2 - (i\sqrt{m})^2} = \frac{n + 2i\sqrt{mn} - m}{n - (-m)} = \frac{n-m+2i\sqrt{mn}}{n+m} $.

Теперь приравняем полученные выражения:

$ \frac{m-n+2i\sqrt{mn}}{m+n} = \frac{n-m+2i\sqrt{mn}}{n+m} $

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Мнимые части в обоих выражениях равны ($ \frac{2\sqrt{mn}}{m+n} $). Приравняем действительные части:

$ \frac{m-n}{m+n} = \frac{n-m}{m+n} $

Так как знаменатели равны и не равны нулю (если $\text{m}$ и $\text{n}$ не равны нулю одновременно), мы можем приравнять числители:

$ m-n = n-m $

$ 2m = 2n $

$ m = n $

Следовательно, исходное равенство справедливо только при условии $m=n$. Для произвольных неотрицательных $\text{m}$ и $\text{n}$ оно не является тождеством.

Ответ: Равенство является тождеством только при условии $m=n$.