Номер 5.42, страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.42. Упростите выражение

$\left(\frac{1-\frac{7}{2}i}{-7-2i}\right)^{-4}$

Для упрощения данного выражения сначала преобразуем дробь в скобках, а затем возведем результат в степень.

Пусть $z = \frac{1 - \frac{7}{2}i}{-7 - 2i}$.

Для упрощения дроби умножим числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю. Знаменатель равен $-7 - 2i$, сопряженное к нему число $-7 + 2i$.

Вычислим произведение в числителе:

$(1 - \frac{7}{2}i)(-7 + 2i) = 1 \cdot (-7) + 1 \cdot 2i - \frac{7}{2}i \cdot (-7) - \frac{7}{2}i \cdot 2i = -7 + 2i + \frac{49}{2}i - 7i^2$

Поскольку $i^2 = -1$, выражение можно упростить:

$-7 + 2i + \frac{49}{2}i + 7 = (2 + \frac{49}{2})i = (\frac{4}{2} + \frac{49}{2})i = \frac{53}{2}i$

Вычислим произведение в знаменателе:

$(-7 - 2i)(-7 + 2i) = (-7)^2 - (2i)^2 = 49 - 4i^2 = 49 - 4(-1) = 49 + 4 = 53$

Теперь найдем значение дроби $\text{z}$:

$z = \frac{\frac{53}{2}i}{53} = \frac{53i}{2 \cdot 53} = \frac{1}{2}i$

Далее необходимо возвести полученное комплексное число в степень -4:

$(\frac{1}{2}i)^{-4} = \frac{1}{(\frac{1}{2}i)^4} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^4 \cdot i^4}$

Вычислим $(\frac{1}{2})^4$ и $i^4$ по отдельности:

$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$\frac{1}{\frac{1}{16} \cdot 1} = \frac{1}{\frac{1}{16}} = 16$

Ответ: $16$