Номер 5.35, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.35. Вычислите $1/i$, $1/i^2$ и $1/i^3$, найдите закономерность для вычисления значения $1/i^n$ для любого натурального $\text{n}$.

Вычислите $\frac{1}{i}, \frac{1}{i^2}$ и $\frac{1}{i^3}$

Выполним вычисления для каждого выражения поочередно, используя основное свойство мнимой единицы $i^2 = -1$.

1. Для $\frac{1}{i}$:

Умножим числитель и знаменатель на $\text{i}$:

$\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$.

2. Для $\frac{1}{i^2}$:

Используем то, что $i^2 = -1$:

$\frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1$.

3. Для $\frac{1}{i^3}$:

Поскольку $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$, то:

$\frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i} = \frac{1 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = i$.

Ответ: $\frac{1}{i} = -i$, $\frac{1}{i^2} = -1$, $\frac{1}{i^3} = i$.

Найдите закономерность для вычисления значения $\frac{1}{i^n}$ для любого натурального $\text{n}$.

Рассмотрим значения выражения $\frac{1}{i^n}$ для первых нескольких натуральных $\text{n}$:

$n=1: \frac{1}{i^1} = -i$

$n=2: \frac{1}{i^2} = -1$

$n=3: \frac{1}{i^3} = i$

$n=4: \frac{1}{i^4} = \frac{1}{(i^2)^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$

$n=5: \frac{1}{i^5} = \frac{1}{i^4 \cdot i} = \frac{1}{1 \cdot i} = \frac{1}{i} = -i$

Мы видим, что значения $-i, -1, i, 1$ циклически повторяются с периодом 4. Таким образом, значение выражения зависит от остатка от деления $\text{n}$ на 4.

Общее правило можно сформулировать так:

- Если $\text{n}$ при делении на 4 дает остаток 1 (например, $n=1, 5, 9, \dots$), то $\frac{1}{i^n} = -i$.

- Если $\text{n}$ при делении на 4 дает остаток 2 (например, $n=2, 6, 10, \dots$), то $\frac{1}{i^n} = -1$.

- Если $\text{n}$ при делении на 4 дает остаток 3 (например, $n=3, 7, 11, \dots$), то $\frac{1}{i^n} = i$.

- Если $\text{n}$ делится на 4 без остатка (например, $n=4, 8, 12, \dots$), то $\frac{1}{i^n} = 1$.

Ответ: Закономерность заключается в циклическом повторении с периодом 4. Значение $\frac{1}{i^n}$ определяется остатком от деления $\text{n}$ на 4:

- остаток 1 $\implies$ значение $-i$;

- остаток 2 $\implies$ значение $-1$;

- остаток 3 $\implies$ значение $\text{i}$;

- остаток 0 $\implies$ значение $\text{1}$.