Номер 5.45, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.45. Вычислите:

1) $(1+i\sqrt{3})^3(1-i)^7$;

2) $\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{-12}$;

3) $\frac{(1+i)^8}{(-1+i)^4}$.

1) Вычислим $(1 + i\sqrt{3})^3(1 - i)^7$.

Для удобства вычислений представим комплексные числа в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ - модуль, а $\varphi = \arg(z)$ - аргумент.

Для числа $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$:

Модуль $r_1 = |1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

Аргумент $\varphi_1$: $\cos\varphi_1 = \frac{1}{2}$, $\sin\varphi_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\varphi_1 = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$.

Для числа $z_2 = 1 - i$:

Модуль $r_2 = |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Аргумент $\varphi_2$: $\cos\varphi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\varphi_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, следовательно, $\varphi_2 = -\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, $z_2 = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

Воспользуемся формулой Муавра $[r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.

$(1 + i\sqrt{3})^3 = [2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})]^3 = 2^3(\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(3 \cdot \frac{\pi}{3})) = 8(\cos\pi + i\sin\pi) = 8(-1 + 0i) = -8$.

Второй способ найти $(1 - i)^7$ — через алгебраические преобразования: $(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$. $(1-i)^4 = ((1-i)^2)^2 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4$. $(1-i)^7 = (1-i)^4 \cdot (1-i)^2 \cdot (1-i) = (-4)(-2i)(1-i) = 8i(1-i) = 8i - 8i^2 = 8i + 8 = 8(1+i)$.

Перемножим полученные результаты:

$(1 + i\sqrt{3})^3(1 - i)^7 = (-8) \cdot 8(1+i) = -64(1+i) = -64 - 64i$.

Ответ: $-64 - 64i$.

2) Вычислим $(\frac{1+i}{\sqrt{2}})^{-12}$.

Сначала представим число $z = \frac{1+i}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}$ в тригонометрической форме.

Модуль $r = |z| = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

Аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}$, следовательно, $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, $z = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$.

Применим формулу Муавра:

$z^{-12} = (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})^{-12} = \cos(-12 \cdot \frac{\pi}{4}) + i\sin(-12 \cdot \frac{\pi}{4})$

$= \cos(-3\pi) + i\sin(-3\pi) = \cos(3\pi) - i\sin(3\pi) = \cos(\pi) - i\sin(\pi) = -1 - 0i = -1$.

Ответ: $-1$.

3) Вычислим $\frac{(1+i)^8}{(-1+i)^4}$.

Заметим, что знаменатель можно преобразовать: $-1+i = i+i^2 = i(1+i)$.

Тогда выражение примет вид:

$\frac{(1+i)^8}{[i(1+i)]^4} = \frac{(1+i)^8}{i^4(1+i)^4}$.

Так как $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$, то $i^4(1+i)^4 = 1 \cdot (1+i)^4 = (1+i)^4$.

Выражение упрощается до:

$\frac{(1+i)^8}{(1+i)^4} = (1+i)^{8-4} = (1+i)^4$.

Теперь вычислим $(1+i)^4$.

Сначала найдем $(1+i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Тогда $(1+i)^4 = ((1+i)^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4$.

Ответ: $-4$.