Номер 5.48, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.48. Найдите все комплексные числа $\text{z}$, удовлетворяющие уравнению $z^2 = 2\bar{z}$.

Для нахождения всех комплексных чисел $\text{z}$, удовлетворяющих уравнению $z^2 = 2\bar{z}$, можно использовать два основных подхода: через алгебраическую и показательную формы комплексного числа.

Представим комплексное число $\text{z}$ в виде $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда комплексно-сопряженное число будет $\bar{z} = x - iy$. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(x + iy)^2 = 2(x - iy)$

Раскроем скобки:

$x^2 + 2ixy + (iy)^2 = 2x - 2iy$

$x^2 - y^2 + 2ixy = 2x - 2iy$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Это приводит к системе двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 2x & (1) \\ 2xy = -2y & (2) \end{cases}$

Решим второе уравнение:

$2xy + 2y = 0$

$2y(x + 1) = 0$

Отсюда следует, что либо $y=0$, либо $x+1=0$ (то есть $x=-1$). Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $y=0$.

Подставим $y=0$ в первое уравнение системы (1):

$x^2 - 0^2 = 2x$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Получаем два решения для $\text{x}$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это дает нам два комплексных числа:

- Если $x=0, y=0$, то $z_1 = 0$.

- Если $x=2, y=0$, то $z_2 = 2$.

Случай 2: $x=-1$.

Подставим $x=-1$ в первое уравнение системы (1):

$(-1)^2 - y^2 = 2(-1)$

$1 - y^2 = -2$

$y^2 = 3$

Получаем два решения для $\text{y}$: $y_3 = \sqrt{3}$ и $y_4 = -\sqrt{3}$. Это дает нам еще два комплексных числа:

- Если $x=-1, y=\sqrt{3}$, то $z_3 = -1 + i\sqrt{3}$.

- Если $x=-1, y=-\sqrt{3}$, то $z_4 = -1 - i\sqrt{3}$.

Представим $\text{z}$ в показательной форме $z = re^{i\varphi}$, где $r = |z| \ge 0$ – модуль, а $\varphi = \arg(z)$ – аргумент. Тогда $\bar{z} = re^{-i\varphi}$. Уравнение принимает вид:

$(re^{i\varphi})^2 = 2(re^{-i\varphi})$

$r^2e^{i2\varphi} = 2re^{-i\varphi}$

Сразу видно одно решение $z=0$, что соответствует $r=0$.

Для $z \neq 0$, имеем $r > 0$, и мы можем разделить обе части на $\text{r}$:

$re^{i2\varphi} = 2e^{-i\varphi}$

Приравняем модули обеих частей уравнения:

$|re^{i2\varphi}| = |2e^{-i\varphi}|$

$r|e^{i2\varphi}| = 2|e^{-i\varphi}|$

Поскольку $|e^{i\theta}|=1$ для любого действительного $\theta$, получаем:

$r \cdot 1 = 2 \cdot 1 \implies r = 2$.

Теперь подставим $r=2$ обратно в уравнение $re^{i2\varphi} = 2e^{-i\varphi}$:

$2e^{i2\varphi} = 2e^{-i\varphi}$

$e^{i2\varphi} = e^{-i\varphi}$

Это равенство выполняется, когда аргументы равны с точностью до кратного $2\pi$:

$2\varphi = -\varphi + 2\pi k$, где $\text{k}$ – любое целое число.

$3\varphi = 2\pi k$

$\varphi = \frac{2\pi k}{3}$

Чтобы найти все уникальные решения, выберем значения $\text{k}$, дающие различные углы в диапазоне $[0, 2\pi)$:

- При $k=0$: $\varphi_1 = 0$. Решение: $z = 2e^{i0} = 2(\cos 0 + i\sin 0) = 2$.

- При $k=1$: $\varphi_2 = \frac{2\pi}{3}$. Решение: $z = 2e^{i\frac{2\pi}{3}} = 2(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3}$.

- При $k=2$: $\varphi_3 = \frac{4\pi}{3}$. Решение: $z = 2e^{i\frac{4\pi}{3}} = 2(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}$.

Значения $k=3, 4, \dots$ будут давать углы, конгруэнтные уже найденным.

Итак, объединяя результаты, полученные обоими способами, мы находим четыре решения.

Ответ: $z_1 = 0$, $z_2 = 2$, $z_3 = -1 + i\sqrt{3}$, $z_4 = -1 - i\sqrt{3}$.