Работа в группе, страница 168, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Сформулируйте утверждение о том, из каких чисел может состоять множество корней уравнения четвертой степени.

Для уравнения четвертой степени с действительными коэффициентами, имеющего вид $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ (где $a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$ и $a \neq 0$), можно сформулировать следующее утверждение о составе его множества корней.

Согласно основной теореме алгебры, такое уравнение всегда имеет ровно четыре корня в множестве комплексных чисел $\mathbb{C}$, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Поскольку все коэффициенты уравнения действительные, то любые комплексные (не являющиеся действительными) корни обязательно появляются парами вместе со своими комплексно-сопряженными. То есть, если $z = \alpha + i\beta$ ($\beta \neq 0$) является корнем, то и $\bar{z} = \alpha - i\beta$ тоже является корнем. Это приводит к трем возможным вариантам состава множества корней:

1. Четыре действительных корня

Множество корней состоит из четырех действительных чисел. Эти корни могут быть как все различными, так и иметь кратность (то есть некоторые из них могут совпадать).

Пример (различные корни): Уравнение $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 0$ имеет множество корней $\{1, 2, 3, 4\}$.

Пример (корни с кратностью): Уравнение $x^2(x-5)^2 = 0$ имеет множество корней $\{0, 0, 5, 5\}$.

2. Два действительных корня и два комплексно-сопряженных корня

Множество корней состоит из двух действительных чисел и одной пары комплексно-сопряженных чисел. Действительные корни могут быть различными или совпадать (корень кратности 2).

Пример: Уравнение $(x-2)(x+1)(x^2+1) = 0$, которое можно записать как $x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 = 0$, имеет множество корней $\{2, -1, i, -i\}$. Здесь $\text{i}$ и $-i$ являются комплексно-сопряженной парой.

3. Четыре комплексных корня

В этом случае у уравнения нет действительных корней. Множество корней состоит из четырех комплексных чисел, которые обязательно образуют две пары комплексно-сопряженных. Эти две пары могут быть либо различными, либо совпадать (что дает одну пару сопряженных корней, каждый из которых имеет кратность 2).

Пример (две различные пары): Уравнение $(x^2+4)(x^2+9) = 0$, или $x^4+13x^2+36=0$, имеет множество корней $\{2i, -2i, 3i, -3i\}$.

Пример (одна пара кратности 2): Уравнение $(x^2+1)^2 = 0$, или $x^4+2x^2+1=0$, имеет множество корней $\{i, -i, i, -i\}$.

Ответ: Утверждение: множество корней уравнения четвертой степени с действительными коэффициентами может состоять из: а) четырех действительных чисел; б) двух действительных чисел и двух комплексно-сопряженных чисел; в) четырех комплексных чисел, которые образуют две пары комплексно-сопряженных чисел. Во всех случаях общее число корней, с учетом их кратности, равно четырем.