Номер 5.57, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.57. Решите квадратное уравнение:

1) $x^2 - 10x + 29 = 0;$

2) $x^2 + 6x + 25 = 0;$

3) $x^2 + 14x + 50 = 0;$

4) $2x^2 + 5 = 6x;$

5) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 4 = 0;$

6) $2x + \frac{1}{x} = 1.$

1) Для решения квадратного уравнения $x^2 - 10x + 29 = 0$ найдем его дискриминант. В данном уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=-10$, $c=29$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 100 - 116 = -16$.

Поскольку дискриминант $D = -16 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

2) Решим квадратное уравнение $x^2 + 6x + 25 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=6$, $c=25$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 36 - 100 = -64$.

Поскольку дискриминант $D = -64 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

3) Решим квадратное уравнение $x^2 + 14x + 50 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=14$, $c=50$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 196 - 200 = -4$.

Поскольку дискриминант $D = -4 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

4) Сначала приведем уравнение $2x^2 + 5 = 6x$ к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$.

$2x^2 - 6x + 5 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $a=2$, $b=-6$, $c=5$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4$.

Поскольку дискриминант $D = -4 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

5) Решим квадратное уравнение $x^2 + 2\sqrt{3}x + 4 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2\sqrt{3}$, $c=4$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 12 - 16 = -4$.

Поскольку дискриминант $D = -4 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

6) Для решения уравнения $2x + \frac{1}{x} = 1$ сначала преобразуем его в квадратное. Область допустимых значений переменной $\text{x}$ - все числа, кроме $x=0$. Умножим обе части уравнения на $\text{x}$.

$2x \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x = 1 \cdot x$

$2x^2 + 1 = x$

Приведем уравнение к стандартному виду: $2x^2 - x + 1 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-1$, $c=1$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

Поскольку дискриминант $D = -7 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.