Номер 5.59, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.59. Решите уравнение:

1) $z^2 + 2z + 2 = 0;$

2) $z^2 - 2z + 5 = 0;$

3) $z^2 - 4z + 13 = 0;$

4) $z^2 + 6z + 34 = 0;$

5) $4z^2 - 4z + 17 = 0;$

6) $z^2 + 4z + 6 = 0.$

1) Для решения квадратного уравнения $z^2 + 2z + 2 = 0$ найдем его дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=2, c=2$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. Используем формулу для нахождения корней: $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$z_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2}$.

Разделив числитель и знаменатель на 2, получаем два корня:

$z_1 = \frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i$

$z_2 = \frac{-2 - 2i}{2} = -1 - i$

Ответ: $z = -1 \pm i$.

2) Для решения квадратного уравнения $z^2 - 2z + 5 = 0$ найдем его дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-2, c=5$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.

Корни уравнения: $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{16} \cdot i}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2}$.

Разделив числитель и знаменатель на 2, получаем:

$z_1 = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i$

$z_2 = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i$

Ответ: $z = 1 \pm 2i$.

3) Для решения квадратного уравнения $z^2 - 4z + 13 = 0$ найдем его дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-4, c=13$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$.

Корни уравнения: $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{36} \cdot i}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2}$.

Разделив числитель и знаменатель на 2, получаем:

$z_1 = \frac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i$

$z_2 = \frac{4 - 6i}{2} = 2 - 3i$

Ответ: $z = 2 \pm 3i$.

4) Для решения квадратного уравнения $z^2 + 6z + 34 = 0$ найдем его дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=6, c=34$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 36 - 136 = -100$.

Корни уравнения: $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{-100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{100} \cdot i}{2} = \frac{-6 \pm 10i}{2}$.

Разделив числитель и знаменатель на 2, получаем:

$z_1 = \frac{-6 + 10i}{2} = -3 + 5i$

$z_2 = \frac{-6 - 10i}{2} = -3 - 5i$

Ответ: $z = -3 \pm 5i$.

5) Для решения квадратного уравнения $4z^2 - 4z + 17 = 0$ найдем его дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=4, b=-4, c=17$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 17 = 16 - 272 = -256$.

Корни уравнения: $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-256}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm \sqrt{256} \cdot i}{8} = \frac{4 \pm 16i}{8}$.

Разделив числитель и знаменатель на 8, получаем:

$z_1 = \frac{4 + 16i}{8} = \frac{1}{2} + 2i$

$z_2 = \frac{4 - 16i}{8} = \frac{1}{2} - 2i$

Ответ: $z = \frac{1}{2} \pm 2i$.

6) Для решения квадратного уравнения $z^2 + 4z + 6 = 0$ найдем его дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=4, c=6$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$.

Корни уравнения: $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{8} \cdot i}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}i}{2}$.

Разделив числитель и знаменатель на 2, получаем:

$z_1 = \frac{-4 + 2\sqrt{2}i}{2} = -2 + i\sqrt{2}$

$z_2 = \frac{-4 - 2\sqrt{2}i}{2} = -2 - i\sqrt{2}$

Ответ: $z = -2 \pm i\sqrt{2}$.