Номер 5.22, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.22. Найдите значения p и q, для которых выполняется равенство

$p + qi = \frac{1}{3+4i}$

Для того чтобы найти значения действительных чисел $\text{p}$ и $\text{q}$, нам нужно привести правую часть равенства к алгебраической форме комплексного числа $a + bi$.

Исходное равенство: $p + qi = \frac{1}{3 + 4i}$

Чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Для числа $z = 3 + 4i$ сопряженным является $\bar{z} = 3 - 4i$.

$\frac{1}{3 + 4i} = \frac{1 \cdot (3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)}$

Вычислим произведение в знаменателе, используя формулу $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ и тот факт, что $i^2 = -1$:

$(3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16i^2 = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25$.

Теперь подставим результат обратно в выражение:

$\frac{3 - 4i}{25}$

Разделим это выражение на действительную и мнимую части:

$\frac{3}{25} - \frac{4}{25}i$

Теперь исходное равенство можно записать в виде:

$p + qi = \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Следовательно, приравнивая соответствующие части, получаем:

$p = \frac{3}{25}$

$q = -\frac{4}{25}$

Ответ: $p = \frac{3}{25}$, $q = -\frac{4}{25}$.