Номер 5.24, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.24. Найдите действительные числа $\text{a}$ ($a > 0$) и $\text{b}$, удовлетворяющие равенству:

1) $(a + bi)^2 = 21 + 20i;$

2) $(a + bi)^2 = -40 - 42i;$

3) $(a + bi)^2 = -9 - 12i;$

4) $(a + bi)^2 = i.$

1) Для равенства $(a + bi)^2 = 21 + 20i$ раскроем скобки в левой части: $(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = (a^2 - b^2) + (2ab)i$.

Приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел в левой и правой частях, получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a^2 - b^2 = 21 \\ 2ab = 20 \end{cases} $

Из второго уравнения, учитывая, что $a > 0$, выразим $\text{b}$: $b = \frac{20}{2a} = \frac{10}{a}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$a^2 - \left(\frac{10}{a}\right)^2 = 21$

$a^2 - \frac{100}{a^2} = 21$

Умножим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a \neq 0$):

$a^4 - 100 = 21a^2$

$a^4 - 21a^2 - 100 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $x = a^2$. Так как $\text{a}$ – действительное число и $a > 0$, то $x > 0$.

$x^2 - 21x - 100 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 441 + 400 = 841 = 29^2$.

$x_{1,2} = \frac{21 \pm 29}{2}$

$x_1 = \frac{21 + 29}{2} = 25$

$x_2 = \frac{21 - 29}{2} = -4$

Условию $x > 0$ удовлетворяет только $x_1 = 25$. Значит, $a^2 = 25$.

Так как по условию $a > 0$, получаем $a = \sqrt{25} = 5$.

Теперь найдем $\text{b}$: $b = \frac{10}{a} = \frac{10}{5} = 2$.

Ответ: $a = 5, b = 2$.

2) Для равенства $(a + bi)^2 = -40 - 42i$ составим систему уравнений, приравняв действительные и мнимые части:

$ \begin{cases} a^2 - b^2 = -40 \\ 2ab = -42 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $\text{b}$: $b = \frac{-42}{2a} = -\frac{21}{a}$ (так как $a > 0$).

Подставим в первое уравнение:

$a^2 - \left(-\frac{21}{a}\right)^2 = -40$

$a^2 - \frac{441}{a^2} = -40$

$a^4 - 441 = -40a^2$

$a^4 + 40a^2 - 441 = 0$

Сделаем замену $x = a^2$ ($x > 0$):

$x^2 + 40x - 441 = 0$

Дискриминант $D = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-441) = 1600 + 1764 = 3364 = 58^2$.

$x_{1,2} = \frac{-40 \pm 58}{2}$

$x_1 = \frac{-40 + 58}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-40 - 58}{2} = -49$

Так как $x > 0$, выбираем $x_1 = 9$. Следовательно, $a^2 = 9$.

Поскольку $a > 0$, то $a = \sqrt{9} = 3$.

Найдем $\text{b}$: $b = -\frac{21}{a} = -\frac{21}{3} = -7$.

Ответ: $a = 3, b = -7$.

3) Для равенства $(a + bi)^2 = -9 - 12i$ составим систему уравнений:

$ \begin{cases} a^2 - b^2 = -9 \\ 2ab = -12 \end{cases} $

Из второго уравнения $ab = -6$, откуда $b = -\frac{6}{a}$ (так как $a > 0$).

Подставим в первое уравнение:

$a^2 - \left(-\frac{6}{a}\right)^2 = -9$

$a^2 - \frac{36}{a^2} = -9$

$a^4 + 9a^2 - 36 = 0$

Сделаем замену $x = a^2$ ($x > 0$):

$x^2 + 9x - 36 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 3, x_2 = -12$.

Условию $x > 0$ удовлетворяет $x_1 = 3$. Значит, $a^2 = 3$.

Так как $a > 0$, то $a = \sqrt{3}$.

Найдем $\text{b}$: $b = -\frac{6}{a} = -\frac{6}{\sqrt{3}} = -\frac{6\sqrt{3}}{3} = -2\sqrt{3}$.

Ответ: $a = \sqrt{3}, b = -2\sqrt{3}$.

4) Для равенства $(a + bi)^2 = i$ представим правую часть в виде $0 + 1i$ и составим систему уравнений:

$ \begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения следует, что $a^2 = b^2$, то есть $a = b$ или $a = -b$.

Из второго уравнения $ab = \frac{1}{2}$. Так как произведение положительно и по условию $a > 0$, то и $\text{b}$ должно быть положительным. Следовательно, $a = -b$ невозможно, и остается только $a = b$.

Подставим $b = a$ во второе уравнение:

$2a \cdot a = 1$

$2a^2 = 1$

$a^2 = \frac{1}{2}$

Так как $a > 0$, то $a = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $a = b$, то $b = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $a = \frac{\sqrt{2}}{2}, b = \frac{\sqrt{2}}{2}$.