Номер 5.20, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.20. Упростите выражение:

1) $(9 + 2i)(1 + 3i);$

2) $(4 - i)(3 + 2i);$

3) $(7 + 3i)^2;$

4) $(3 + 2i)^3;$

5) $(1 + 2i)(3 - 4i)(5 + 6i).$

1) Для упрощения выражения $(9 + 2i)(1 + 3i)$ раскроем скобки, используя правило умножения комплексных чисел (FOIL):

$(9 + 2i)(1 + 3i) = 9 \cdot 1 + 9 \cdot 3i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot 3i = 9 + 27i + 2i + 6i^2$.

Так как $i^2 = -1$, подставим это значение в выражение:

$9 + 27i + 2i + 6(-1) = 9 + 29i - 6$.

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$(9 - 6) + 29i = 3 + 29i$.

Ответ: $3 + 29i$.

2) Упростим выражение $(4 - i)(3 + 2i)$, раскрыв скобки:

$(4 - i)(3 + 2i) = 4 \cdot 3 + 4 \cdot 2i - i \cdot 3 - i \cdot 2i = 12 + 8i - 3i - 2i^2$.

Заменим $i^2$ на $-1$:

$12 + 8i - 3i - 2(-1) = 12 + 5i + 2$.

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$(12 + 2) + 5i = 14 + 5i$.

Ответ: $14 + 5i$.

3) Для упрощения выражения $(7 + 3i)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(7 + 3i)^2 = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot (3i) + (3i)^2 = 49 + 42i + 9i^2$.

Подставим $i^2 = -1$:

$49 + 42i + 9(-1) = 49 + 42i - 9$.

Сгруппируем действительные части:

$(49 - 9) + 42i = 40 + 42i$.

Ответ: $40 + 42i$.

4) Для упрощения выражения $(3 + 2i)^3$ воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(3 + 2i)^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot (2i) + 3 \cdot 3 \cdot (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 3 \cdot 9 \cdot 2i + 9 \cdot 4i^2 + 8i^3$.

Упростим выражение, зная, что $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$:

$27 + 54i + 36(-1) + 8(-i) = 27 + 54i - 36 - 8i$.

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$(27 - 36) + (54 - 8)i = -9 + 46i$.

Ответ: $-9 + 46i$.

5) Упростим выражение $(1 + 2i)(3 - 4i)(5 + 6i)$, выполняя умножение по шагам.

Сначала перемножим первые две скобки:

$(1 + 2i)(3 - 4i) = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 4i + 2i \cdot 3 - 2i \cdot 4i = 3 - 4i + 6i - 8i^2$.

Заменив $i^2 = -1$, получим:

$3 + 2i - 8(-1) = 3 + 2i + 8 = 11 + 2i$.

Теперь умножим результат на третью скобку:

$(11 + 2i)(5 + 6i) = 11 \cdot 5 + 11 \cdot 6i + 2i \cdot 5 + 2i \cdot 6i = 55 + 66i + 10i + 12i^2$.

Снова заменим $i^2 = -1$:

$55 + 76i + 12(-1) = 55 + 76i - 12$.

Сгруппируем действительные части:

$(55 - 12) + 76i = 43 + 76i$.

Ответ: $43 + 76i$.