Номер 5.17, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.17. Упростите: $\frac{\sqrt[3]{36} \cdot \sqrt[4]{9}}{\sqrt[6]{24}}$

5.17. Для упрощения данного выражения представим все корни в виде степеней с дробными показателями, используя свойство $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$. Также разложим подкоренные выражения на простые множители, чтобы работать с одинаковыми основаниями.

1. Разложим числа на простые множители:

$36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$

$9 = 3^2$

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

2. Перепишем каждый член выражения, используя степени:

$ \sqrt[3]{36} = 36^{1/3} = (2^2 \cdot 3^2)^{1/3} = 2^{2/3} \cdot 3^{2/3} $

$ \sqrt[4]{9} = 9^{1/4} = (3^2)^{1/4} = 3^{2/4} = 3^{1/2} $

$ \sqrt[6]{24} = 24^{1/6} = (2^3 \cdot 3)^{1/6} = 2^{3/6} \cdot 3^{1/6} = 2^{1/2} \cdot 3^{1/6} $

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$ \frac{\sqrt[3]{36} \cdot \sqrt[4]{9}}{\sqrt[6]{24}} = \frac{(2^{2/3} \cdot 3^{2/3}) \cdot 3^{1/2}}{2^{1/2} \cdot 3^{1/6}} $

4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$ 2^{(2/3 - 1/2)} \cdot 3^{(2/3 + 1/2 - 1/6)} $

5. Вычислим показатели степеней, приводя дроби к общему знаменателю 6:

Для основания 2: $ \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6} $

Для основания 3: $ \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{7-1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

6. Таким образом, выражение упрощается до $2^{1/6} \cdot 3^1$. Запишем результат в виде корня: $3 \sqrt[6]{2}$.

Ответ: $3\sqrt[6]{2}$