Номер 5.10, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.10. Найдите модули и аргументы комплексных чисел $z_1 = 1 + \sqrt{3}i$

и $z_2 = -2 - 2i$.

Для нахождения модуля и аргумента комплексного числа $z = x + yi$ используются следующие формулы.

Модуль комплексного числа, обозначаемый как $|z|$ или $\text{r}$, вычисляется как:

$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Аргумент комплексного числа, обозначаемый как $\phi$ или $\arg(z)$, — это угол, который образует вектор, соответствующий числу $\text{z}$ на комплексной плоскости, с положительным направлением действительной оси. Он находится из системы уравнений:

$\cos(\phi) = \frac{x}{r}$

$\sin(\phi) = \frac{y}{r}$

Будем находить главное значение аргумента в интервале $(-\pi, \pi]$.

Для комплексного числа $z_1 = 1 + \sqrt{3}i$

Действительная часть $x_1 = 1$, мнимая часть $y_1 = \sqrt{3}$.

1. Вычислим модуль $|z_1|$:

$|z_1| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

2. Найдем аргумент $\phi_1 = \arg(z_1)$:

$\cos(\phi_1) = \frac{x_1}{|z_1|} = \frac{1}{2}$

$\sin(\phi_1) = \frac{y_1}{|z_1|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как $\cos(\phi_1) > 0$ и $\sin(\phi_1) > 0$, угол $\phi_1$ находится в первой координатной четверти. Угол, для которого выполняются данные условия, равен $\phi_1 = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: для числа $z_1$ модуль равен 2, аргумент равен $\frac{\pi}{3}$.

Для комплексного числа $z_2 = -2 - 2i$

Действительная часть $x_2 = -2$, мнимая часть $y_2 = -2$.

1. Вычислим модуль $|z_2|$:

$|z_2| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

2. Найдем аргумент $\phi_2 = \arg(z_2)$:

$\cos(\phi_2) = \frac{x_2}{|z_2|} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\phi_2) = \frac{y_2}{|z_2|} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Так как $\cos(\phi_2) < 0$ и $\sin(\phi_2) < 0$, угол $\phi_2$ находится в третьей координатной четверти. Угол из интервала $(-\pi, \pi]$, для которого выполняются данные условия, равен $\phi_2 = -\frac{3\pi}{4}$.

Ответ: для числа $z_2$ модуль равен $2\sqrt{2}$, аргумент равен $-\frac{3\pi}{4}$.