Номер 5.8, страница 158, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.8. Считая комплексные числа $\text{z}$ и $\text{w}$ взаимно сопряженными, найдите значения действительных чисел $\text{x}$ и $\text{y}$:

1) $z = 2x^2 - 3i - 1 + yi$, $w = y + x^2i - 3 - 2i$;

2) $z = (x + i)^2 + y^2$, $w = 12 + yi + i$.

1) Даны комплексные числа $z = 2x^2 - 3i - 1 + yi$ и $w = y + x^2i - 3 - 2i$. Приведем их к стандартному алгебраическому виду $a+bi$.

Для числа $\text{z}$ действительная часть $Re(z) = 2x^2 - 1$, а мнимая часть $Im(z) = y - 3$. Таким образом, $z = (2x^2 - 1) + (y - 3)i$.

Для числа $\text{w}$ действительная часть $Re(w) = y - 3$, а мнимая часть $Im(w) = x^2 - 2$. Таким образом, $w = (y - 3) + (x^2 - 2)i$.

По условию, числа $\text{z}$ и $\text{w}$ являются взаимно сопряженными, то есть $z = \bar{w}$. Это означает, что их действительные части равны ($Re(z) = Re(w)$), а мнимые части противоположны по знаку ($Im(z) = -Im(w)$).

Составим систему уравнений:

1. $2x^2 - 1 = y - 3$

2. $y - 3 = -(x^2 - 2)$

Из первого уравнения выразим $\text{y}$: $y = 2x^2 - 1 + 3$, что дает $y = 2x^2 + 2$.

Из второго уравнения также выразим $\text{y}$: $y - 3 = -x^2 + 2$, что дает $y = -x^2 + 5$.

Приравняем правые части полученных выражений для $\text{y}$:

$2x^2 + 2 = -x^2 + 5$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$

Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.

Найдем соответствующее значение $\text{y}$, подставив значения $\text{x}$ в выражение $y = -x^2 + 5$:

При $x = 1$, $y = -(1)^2 + 5 = 4$.

При $x = -1$, $y = -(-1)^2 + 5 = 4$.

Таким образом, получены две пары решений.

Ответ: $x=1, y=4$ и $x=-1, y=4$.

2) Даны комплексные числа $z = (x + i)^2 + y^2$ и $w = 12 + yi + i$. Приведем их к стандартному алгебраическому виду $a+bi$.

Сначала преобразуем $\text{z}$: $z = (x^2 + 2xi + i^2) + y^2 = x^2 + 2xi - 1 + y^2$.

Действительная часть $Re(z) = x^2 + y^2 - 1$, мнимая часть $Im(z) = 2x$.

Таким образом, $z = (x^2 + y^2 - 1) + 2xi$.

Теперь преобразуем $\text{w}$: $w = 12 + (y + 1)i$.

Действительная часть $Re(w) = 12$, мнимая часть $Im(w) = y + 1$.

По условию $z = \bar{w}$, что означает $Re(z) = Re(w)$ и $Im(z) = -Im(w)$. Составим систему уравнений:

$x^2 + y^2 - 1 = 12 \implies x^2 + y^2 = 13$

$2x = -(y + 1) \implies y = -2x - 1$

Подставим выражение для $\text{y}$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (-2x - 1)^2 = 13$

$x^2 + (4x^2 + 4x + 1) = 13$

$5x^2 + 4x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $\text{x}$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 - 16}{10} = \frac{-20}{10} = -2$

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 + 16}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Найдем соответствующие значения $\text{y}$ по формуле $y = -2x - 1$:

Если $x_1 = -2$, то $y_1 = -2(-2) - 1 = 4 - 1 = 3$.

Если $x_2 = \frac{6}{5}$, то $y_2 = -2(\frac{6}{5}) - 1 = -\frac{12}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{17}{5}$.

Таким образом, получены две пары решений.

Ответ: $x=-2, y=3$ и $x=\frac{6}{5}, y=-\frac{17}{5}$.