Работа в группе, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Докажите следующее равенство для $x, y \ne 0$:

$\frac{1}{x+yi} = \frac{x-yi}{x^2+y^2}$

Для доказательства данного равенства необходимо преобразовать его левую часть. Стандартный приём для избавления от мнимости в знаменателе дроби — это домножение числителя и знаменателя на число, комплексно сопряжённое знаменателю.

Комплексное число в знаменателе — это $z = x + yi$. Сопряжённое к нему число — это $\bar{z} = x - yi$.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби $\frac{1}{x + yi}$ на $x - yi$:

$\frac{1}{x + yi} = \frac{1 \cdot (x - yi)}{(x + yi)(x - yi)}$

Теперь упростим знаменатель. Произведение $(x + yi)(x - yi)$ является произведением комплексного числа на его сопряжённое, что равно квадрату модуля этого числа. Также можно воспользоваться формулой разности квадратов:

$(x + yi)(x - yi) = x^2 - (yi)^2 = x^2 - y^2i^2$

По определению мнимой единицы, $i^2 = -1$. Подставим это значение в выражение для знаменателя:

$x^2 - y^2(-1) = x^2 + y^2$

Числитель дроби равен $1 \cdot (x - yi) = x - yi$.

Собирая всё вместе, получаем:

$\frac{1}{x + yi} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2}$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства. Условие $x, y \neq 0$ гарантирует, что знаменатель $x + yi$ не равен нулю, а также что $x^2 + y^2 > 0$, поэтому все выполненные операции корректны.

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\frac{1}{x + yi} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2}$ доказано путем умножения числителя и знаменателя левой части на число $x - yi$, сопряженное знаменателю. Это преобразование, с учетом того, что $i^2 = -1$, приводит левую часть к виду правой части.