Номер 6.3, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.3. Постройте график функции. Найдите область определения и множество значений функции.

1) $f(x) = 3^x$;

2) $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$;

3) $f(x) = 5^x$;

4) $f(x) = 0,3^x$.

1) $f(x) = 3^x$

Это показательная функция с основанием $a=3$.

Построение графика:

Так как основание $a=3 > 1$, функция является строго возрастающей. График проходит через точку $(0, 1)$. Найдем значения функции в нескольких точках для построения графика:

$f(-2) = 3^{-2} = \frac{1}{9}$

$f(-1) = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

$f(0) = 3^0 = 1$

$f(1) = 3^1 = 3$

$f(2) = 3^2 = 9$

График — это гладкая кривая, проходящая через точки $(-2, \frac{1}{9})$, $(-1, \frac{1}{3})$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 9)$. Кривая возрастает на всей области определения. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел $\text{x}$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений:

Для любого действительного $\text{x}$ значение $3^x$ всегда положительно. Таким образом, множество значений $E(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: График функции — возрастающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (0; +\infty)$.

2) $f(x) = (\frac{1}{3})^x$

Это показательная функция с основанием $a=\frac{1}{3}$.

Построение графика:

Так как основание $0 < a < 1$, функция является строго убывающей. График также проходит через точку $(0, 1)$. Найдем значения функции в нескольких точках:

$f(-2) = (\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$

$f(-1) = (\frac{1}{3})^{-1} = 3^1 = 3$

$f(0) = (\frac{1}{3})^0 = 1$

$f(1) = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$

$f(2) = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

График — это гладкая кривая, проходящая через точки $(-2, 9)$, $(-1, 3)$, $(0, 1)$, $(1, \frac{1}{3})$, $(2, \frac{1}{9})$. Кривая убывает на всей области определения. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.

Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел $\text{x}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений:

Для любого действительного $\text{x}$ значение $(\frac{1}{3})^x$ всегда положительно. Множество значений $E(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: График функции — убывающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (0; +\infty)$.

3) $f(x) = 5^x$

Это показательная функция с основанием $a=5$.

Построение графика:

Так как основание $a=5 > 1$, функция является строго возрастающей. График проходит через точку $(0, 1)$. Найдем значения функции в нескольких точках:

$f(-2) = 5^{-2} = \frac{1}{25}$

$f(-1) = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

$f(0) = 5^0 = 1$

$f(1) = 5^1 = 5$

$f(2) = 5^2 = 25$

График — это гладкая кривая, проходящая через точки $(-2, \frac{1}{25})$, $(-1, \frac{1}{5})$, $(0, 1)$, $(1, 5)$, $(2, 25)$. Кривая возрастает на всей области определения. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел $\text{x}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений:

Для любого действительного $\text{x}$ значение $5^x$ всегда положительно. Множество значений $E(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: График функции — возрастающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (0; +\infty)$.

4) $f(x) = 0.3^x$

Это показательная функция с основанием $a=0.3$.

Построение графика:

Так как основание $a=0.3$ и $0 < 0.3 < 1$, функция является строго убывающей. График проходит через точку $(0, 1)$. Найдем значения функции в нескольких точках:

$f(-2) = 0.3^{-2} = (\frac{3}{10})^{-2} = \frac{100}{9} \approx 11.11$

$f(-1) = 0.3^{-1} = (\frac{3}{10})^{-1} = \frac{10}{3} \approx 3.33$

$f(0) = 0.3^0 = 1$

$f(1) = 0.3^1 = 0.3$

$f(2) = 0.3^2 = 0.09$

График — это гладкая кривая, проходящая через точки $(-2, \frac{100}{9})$, $(-1, \frac{10}{3})$, $(0, 1)$, $(1, 0.3)$, $(2, 0.09)$. Кривая убывает на всей области определения. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to +\infty$.

Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел $\text{x}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений:

Для любого действительного $\text{x}$ значение $0.3^x$ всегда положительно. Множество значений $E(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: График функции — убывающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = (0; +\infty)$.