Номер 6.9, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.9. Сравните числа:

1) $2^{1.5}$ и $2^{\sqrt{5}}$;

2) $2^{\frac{1}{3}}$ и $2^{0.3}$;

3) $3^{0.1}$ и $3^0$;

4) $3^{-0.1}$ и $3^0$;

5) $2^{-1.42}$ и $2^{-\sqrt{2}}$;

6) $2^{\frac{1}{7}}$ и $2^{0.143}$.

1) Для сравнения чисел $2^{1.5}$ и $2^{\sqrt{2}}$ используется свойство показательной функции. Так как основание степени $a=2 > 1$, функция $y=2^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней: $1.5$ и $\sqrt{2}$. Известно, что $\sqrt{2} \approx 1.414$. Так как $1.5 > 1.414$, то $1.5 > \sqrt{2}$. Поскольку функция возрастающая, из $1.5 > \sqrt{2}$ следует, что $2^{1.5} > 2^{\sqrt{2}}$.

Ответ: $2^{1.5} > 2^{\sqrt{2}}$.

2) Сравниваем числа $2^{\frac{1}{3}}$ и $2^{0.8}$ (судя по изображению, там $2^{0.3}$, а не $2^{0.8}$). Предполагая, что число $2^{0.3}$, получаем: основание степени $a=2 > 1$, поэтому функция $y=2^x$ возрастающая. Сравним показатели $\frac{1}{3}$ и $0.3$. Представим $\frac{1}{3}$ в виде десятичной дроби: $\frac{1}{3} = 0.333...$. Так как $0.333... > 0.3$, то $\frac{1}{3} > 0.3$. Следовательно, $2^{\frac{1}{3}} > 2^{0.3}$.

Ответ: $2^{\frac{1}{3}} > 2^{0.3}$.

3) Сравниваем числа $3^{0.1}$ и $3^0$. Основание $a=3 > 1$, поэтому функция $y=3^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней $0.1$ и $\text{0}$. Так как $0.1 > 0$, то и $3^{0.1} > 3^0$.

Ответ: $3^{0.1} > 3^0$.

4) Сравниваем числа $3^{-0.1}$ и $3^0$. Основание $a=3 > 1$, поэтому функция $y=3^x$ возрастающая. Сравним показатели степеней $-0.1$ и $\text{0}$. Так как $-0.1 < 0$, то из свойства возрастающей функции следует, что $3^{-0.1} < 3^0$.

Ответ: $3^{-0.1} < 3^0$.

5) Сравниваем числа $2^{-1.42}$ и $2^{-\sqrt{2}}$. Основание $a=2 > 1$, значит, функция $y=2^x$ возрастающая. Сравним показатели $-1.42$ и $-\sqrt{2}$. Мы знаем, что $\sqrt{2} \approx 1.414$. Так как $1.42 > 1.414$, то $1.42 > \sqrt{2}$. При умножении обеих частей неравенства на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный: $-1.42 < -\sqrt{2}$. Поскольку функция возрастающая, из $-1.42 < -\sqrt{2}$ следует, что $2^{-1.42} < 2^{-\sqrt{2}}$.

Ответ: $2^{-1.42} < 2^{-\sqrt{2}}$.

6) Сравниваем числа $2^{\frac{1}{7}}$ и $2^{0.143}$. Основание $a=2 > 1$, значит, функция $y=2^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{7}$ и $0.143$. Переведем дробь $\frac{1}{7}$ в десятичный формат: $\frac{1}{7} = 0.142857...$. Сравнивая это значение с $0.143$, получаем $0.142857... < 0.143$. Таким образом, $\frac{1}{7} < 0.143$. Так как функция возрастающая, то $2^{\frac{1}{7}} < 2^{0.143}$.

Ответ: $2^{\frac{1}{7}} < 2^{0.143}$.