Номер 6.14, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.14. Имеет ли корень данное уравнение? Если да, то каков знак корня?

1) $5^x = 6$;

2) $5^x = \frac{1}{6}$;

3) $5^x = 0,01$;

4) $5^x = 100$;

5) $5^x = -1$.

1) Уравнение $5^x = 6$. Показательная функция $y=5^x$ определена для всех действительных $\text{x}$ и ее область значений — все положительные числа, $(0; +\infty)$. Поскольку правая часть уравнения $\text{6}$ является положительным числом ($6>0$), уравнение имеет единственный корень. Чтобы определить знак корня, сравним значение $\text{6}$ с $\text{1}$. Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Мы знаем, что $5^1 = 5$. Так как $6 > 5$, то $5^x = 6 > 5^1$. Из этого следует, что $x > 1$. Следовательно, корень уравнения является положительным числом.

Ответ: да, корень положительный.

2) Уравнение $5^x = \frac{1}{6}$. Правая часть уравнения $\frac{1}{6} > 0$, поэтому уравнение имеет единственный корень. Для определения знака корня сравним значение $\frac{1}{6}$ с $\text{1}$. Так как $0 < \frac{1}{6} < 1$ и функция $y=5^x$ возрастающая, а $5^0 = 1$, то $5^x = \frac{1}{6} < 5^0$. Отсюда следует, что $x < 0$. Следовательно, корень уравнения является отрицательным числом.

Ответ: да, корень отрицательный.

3) Уравнение $5^x = 0,01$. Правая часть уравнения $0,01 > 0$, поэтому уравнение имеет единственный корень. Для определения знака корня сравним значение $0,01$ с $\text{1}$. Так как $0 < 0,01 < 1$ и функция $y=5^x$ возрастающая, а $5^0 = 1$, то $5^x = 0,01 < 5^0$. Отсюда следует, что $x < 0$. Следовательно, корень уравнения является отрицательным числом.

Ответ: да, корень отрицательный.

4) Уравнение $5^x = 100$. Правая часть уравнения $100 > 0$, поэтому уравнение имеет единственный корень. Для определения знака корня сравним значение $100$ с $\text{1}$. Так как $100 > 1$ и функция $y=5^x$ возрастающая, а $5^1 = 5$ (и $5^2=25$), то $5^x = 100 > 5^1$. Отсюда следует, что $x > 1$. Следовательно, корень уравнения является положительным числом.

Ответ: да, корень положительный.

5) Уравнение $5^x = -1$. Область значений показательной функции $y=5^x$ — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, $5^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Правая часть уравнения равна $-1$, что является отрицательным числом. Поскольку положительное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет.