Номер 6.20, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.20. Постройте график функции $f(x) = \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}$.

Для построения графика функции $f(x) = \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}$ сначала найдем ее область определения и упростим выражение.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

1. Из выражения $\sqrt{x-1}$ следует, что $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

2. Выражение $x + 2\sqrt{x-1}$ при $x \ge 1$ является суммой положительного числа $\text{x}$ и неотрицательного $2\sqrt{x-1}$, поэтому оно всегда больше или равно 1, то есть неотрицательно.

3. Для выражения $x - 2\sqrt{x-1}$ решим неравенство $x - 2\sqrt{x-1} \ge 0$. Перенесем $2\sqrt{x-1}$ в правую часть: $x \ge 2\sqrt{x-1}$. Так как обе части неравенства неотрицательны при $x \ge 1$, можно возвести их в квадрат: $x^2 \ge 4(x-1)$, что равносильно $x^2 - 4x + 4 \ge 0$, или $(x-2)^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = [1; +\infty)$.

Далее, упростим выражение для функции. Заметим, что подкоренные выражения можно преобразовать в полные квадраты, используя формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Для этого представим $\text{x}$ в виде $(x-1) + 1$.

$x + 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$.

$x - 2\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.

Подставляя это в исходную функцию, получаем: $f(x) = \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2}$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем: $f(x) = |\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} - 1|$.

Поскольку $\sqrt{x-1} \ge 0$, то сумма $\sqrt{x-1} + 1$ всегда положительна, поэтому $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.

Функция принимает вид: $f(x) = \sqrt{x-1} + 1 + |\sqrt{x-1} - 1|$.

Теперь раскроем модуль. Знак выражения под модулем $\sqrt{x-1} - 1$ зависит от значения $\text{x}$. Найдем значение $\text{x}$, при котором выражение равно нулю: $\sqrt{x-1} - 1 = 0 \implies \sqrt{x-1} = 1 \implies x-1 = 1 \implies x = 2$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $1 \le x \le 2$, то $0 \le \sqrt{x-1} \le 1$, следовательно, $\sqrt{x-1} - 1 \le 0$. Модуль раскрывается со знаком "минус": $|\sqrt{x-1} - 1| = -(\sqrt{x-1} - 1) = 1 - \sqrt{x-1}$.

Тогда $f(x) = (\sqrt{x-1} + 1) + (1 - \sqrt{x-1}) = 2$.

2. Если $x > 2$, то $\sqrt{x-1} > 1$, следовательно, $\sqrt{x-1} - 1 > 0$. Модуль раскрывается со знаком "плюс": $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$.

Тогда $f(x) = (\sqrt{x-1} + 1) + (\sqrt{x-1} - 1) = 2\sqrt{x-1}$.

Таким образом, функция $f(x)$ является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} 2, & \text{если } 1 \le x \le 2 \\ 2\sqrt{x-1}, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.

Для построения графика на отрезке $[1; 2]$ чертим горизонтальный отрезок прямой $y=2$, соединяющий точки $(1; 2)$ и $(2; 2)$.

При $x > 2$ график совпадает с графиком функции $y = 2\sqrt{x-1}$. Это ветвь параболы, которая получается из графика $y=\sqrt{x}$ смещением на 1 единицу вправо и растяжением в 2 раза вдоль оси ординат. График выходит из точки $(2; 2)$ и монотонно возрастает. Для более точного построения найдем еще одну точку: при $x=5$, $y=2\sqrt{5-1}=2\sqrt{4}=4$. Точка $(5; 4)$ лежит на графике.

Ответ: График функции $f(x)$ представляет собой линию, состоящую из двух частей. Первая часть — это горизонтальный отрезок прямой $y=2$ на промежутке $x \in [1; 2]$ с концами в точках $(1; 2)$ и $(2; 2)$. Вторая часть — это ветвь параболы $y = 2\sqrt{x-1}$ для $x > 2$, которая начинается в точке $(2; 2)$ и уходит вправо и вверх, проходя, например, через точку $(5; 4)$.