Номер 6.25, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.25. Найдите логарифм данного числа по основанию 2:

1) 2;

2) $\frac{1}{2}$;

3) 4;

4) $\frac{1}{4}$;

5) $\frac{1}{8}$;

6) 32;

7) 64;

8) $\frac{1}{16}$.

1)

Требуется найти логарифм числа 2 по основанию 2, то есть значение выражения $\log_2(2)$. По определению логарифма, $\log_a(b) = c$ тогда и только тогда, когда $a^c = b$. В нашем случае, нам нужно найти такое число $\text{x}$, что $2^x = 2$. Поскольку любое число в первой степени равно самому себе, то $2^1 = 2$. Следовательно, $x=1$.

Ответ: 1

2)

Требуется найти логарифм числа $\frac{1}{2}$ по основанию 2, то есть значение выражения $\log_2(\frac{1}{2})$. Пусть $\log_2(\frac{1}{2}) = x$. По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $2^x = \frac{1}{2}$. Используя свойство степеней с отрицательным показателем, $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, мы можем переписать правую часть уравнения: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} = 2^{-1}$. Таким образом, наше уравнение принимает вид $2^x = 2^{-1}$. Так как основания степеней равны, то и показатели должны быть равны, откуда $x = -1$.

Ответ: -1

3)

Требуется найти логарифм числа 4 по основанию 2, то есть значение выражения $\log_2(4)$. Пусть $\log_2(4) = x$. Это означает, что мы ищем показатель степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 4. То есть, $2^x = 4$. Поскольку $4 = 2 \times 2 = 2^2$, уравнение принимает вид $2^x = 2^2$. Отсюда следует, что $x=2$.

Ответ: 2

4)

Требуется найти логарифм числа $\frac{1}{4}$ по основанию 2, то есть значение выражения $\log_2(\frac{1}{4})$. Пусть $\log_2(\frac{1}{4}) = x$. По определению логарифма, $2^x = \frac{1}{4}$. Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{2^2} = 2^{-2}$. Уравнение принимает вид $2^x = 2^{-2}$. Следовательно, $x=-2$.

Ответ: -2

5)

Требуется найти логарифм числа $\frac{1}{8}$ по основанию 2, то есть значение выражения $\log_2(\frac{1}{8})$. Пусть $\log_2(\frac{1}{8}) = x$. Это эквивалентно уравнению $2^x = \frac{1}{8}$. Представим 8 как степень двойки: $8 = 2^3$. Тогда $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$. Наше уравнение становится $2^x = 2^{-3}$, откуда $x = -3$.

Ответ: -3

6)

Требуется найти логарифм числа 32 по основанию 2, то есть значение выражения $\log_2(32)$. Пусть $\log_2(32) = x$. По определению логарифма, $2^x = 32$. Нам нужно найти, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 32. Перебирая степени двойки, получаем: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$. Таким образом, $32 = 2^5$. Уравнение принимает вид $2^x = 2^5$, следовательно, $x=5$.

Ответ: 5

7)

Требуется найти логарифм числа 64 по основанию 2, то есть значение выражения $\log_2(64)$. Пусть $\log_2(64) = x$. Это означает, что $2^x = 64$. Представим 64 как степень двойки. Мы знаем, что $64 = 8 \times 8 = 2^3 \times 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$. Итак, уравнение становится $2^x = 2^6$. Отсюда $x=6$.

Ответ: 6

8)

Требуется найти логарифм числа $\frac{1}{16}$ по основанию 2, то есть значение выражения $\log_2(\frac{1}{16})$. Пусть $\log_2(\frac{1}{16}) = x$. По определению логарифма, $2^x = \frac{1}{16}$. Представим 16 как степень двойки: $16 = 2^4$. Тогда $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем $2^{-4}$. Уравнение принимает вид $2^x = 2^{-4}$. Следовательно, $x=-4$.

Ответ: -4