Номер 6.28, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.28. Вычислите:

1) $lg100000$;

2) $lg0,01$;

3) $\log_3 \sqrt{3}$;

4) $\log_2 128$;

5) $\log_5 25$;

6) $\log_5 125$;

7) $\log_9 3$;

8) $\log_2 \sqrt[3]{2}$;

9) $\log_a a^n$;

10) $\log_8 2$;

11) $\log_a \frac{1}{a}$;

12) $\log_6 6\sqrt{6}$;

13) $\log_4 1$;

14) $\log_3 9$.

1) Десятичный логарифм (обозначается как $\lg$) — это логарифм по основанию 10. Чтобы вычислить $\lg{100000}$, нужно найти показатель степени, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 100000. Так как $100000 = 10^5$, то $\lg{100000} = \log_{10}{10^5} = 5$.

Ответ: 5.

2) Необходимо вычислить десятичный логарифм числа 0,01. Для этого представим 0,01 в виде степени числа 10. $0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$. Следовательно, $\lg{0,01} = \log_{10}{10^{-2}} = -2$.

Ответ: -2.

3) Требуется найти логарифм по основанию 3 от $\sqrt{3}$. Представим корень из 3 в виде степени с основанием 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$. Используя свойство логарифма $\log_a{a^x} = x$, получаем: $\log_3{\sqrt{3}} = \log_3{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Чтобы вычислить $\log_2{128}$, нужно найти показатель степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 128. Представим 128 как степень двойки: $2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128$. Таким образом, $128 = 2^7$. Значит, $\log_2{128} = \log_2{2^7} = 7$.

Ответ: 7.

5) Нужно вычислить логарифм по основанию 5 от 25. Так как $25 = 5^2$, то по определению логарифма $\log_5{25} = \log_5{5^2} = 2$.

Ответ: 2.

6) Нужно вычислить логарифм по основанию 5 от 125. Так как $125 = 5^3$, то $\log_5{125} = \log_5{5^3} = 3$.

Ответ: 3.

7) Требуется найти $\log_9{3}$. Нужно найти показатель степени, в которую следует возвести 9, чтобы получить 3. Так как $\sqrt{9} = 3$, а квадратный корень можно записать как степень $\frac{1}{2}$, то $9^{\frac{1}{2}} = 3$. Следовательно, $\log_9{3} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

8) Необходимо вычислить $\log_2{\sqrt[3]{2}}$. Представим кубический корень из 2 в виде степени с основанием 2: $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$. Тогда, используя свойство логарифма, получаем $\log_2{\sqrt[3]{2}} = \log_2{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

9) Это выражение является примером основного логарифмического свойства $\log_a{a^x} = x$. По определению, логарифм $\log_a{b}$ — это показатель степени, в которую надо возвести основание $\text{a}$, чтобы получить число $\text{b}$. В данном случае, чтобы получить $a^n$, нужно возвести $\text{a}$ в степень $\text{n}$. Таким образом, $\log_a{a^n} = n$.

Ответ: $\text{n}$.

10) Требуется найти $\log_8{2}$. Пусть $\log_8{2} = x$. По определению логарифма, это означает, что $8^x = 2$. Представим 8 как степень 2: $8 = 2^3$. Тогда уравнение примет вид $(2^3)^x = 2^1$, что равносильно $2^{3x} = 2^1$. Приравнивая показатели степеней, получаем $3x = 1$, откуда $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

11) Требуется найти $\log_a{\frac{1}{a}}$. Представим выражение $\frac{1}{a}$ в виде степени с основанием $\text{a}$: $\frac{1}{a} = a^{-1}$. Тогда $\log_a{\frac{1}{a}} = \log_a{a^{-1}} = -1$.

Ответ: -1.

12) Чтобы вычислить $\log_6{6\sqrt{6}}$, сначала упростим выражение под знаком логарифма. Используя свойства степеней, $6\sqrt{6} = 6^1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} = 6^{1+\frac{1}{2}} = 6^{\frac{3}{2}}$. Теперь вычисляем логарифм: $\log_6{6\sqrt{6}} = \log_6{6^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

13) Логарифм единицы по любому допустимому основанию ($a > 0, a \neq 1$) всегда равен нулю. Это следует из того, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. В данном случае $4^0 = 1$, поэтому $\log_4{1} = 0$.

Ответ: 0.

14) Логарифм числа, равного основанию, всегда равен единице. Это следует из того, что $a^1 = a$ для любого $\text{a}$. В данном случае $9^1 = 9$, поэтому $\log_9{9} = 1$.

Ответ: 1.