Номер 6.35, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.35. Упростите:

1) $5\lg2 + \lg3;$

2) $2\ln3 + 3\ln2;$

3) $3\lg4 - \ln8;$

4) $2\ln5 - 3\ln2;$

5) $\frac{1}{2}\ln4 + \ln3;$

6) $\frac{1}{3}\ln\frac{1}{8};$

7) $3 - \lg2 - 2\lg5;$

8) $2 - \frac{1}{2}\lg4 - \lg5.$

1) Для упрощения выражения $5\lg2 + \lg3$ используем свойства логарифма. Сначала применим свойство $n\log_a b = \log_a(b^n)$, чтобы преобразовать первый член: $5\lg2 = \lg(2^5) = \lg32$. Затем, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$, сложим полученный результат со вторым членом: $\lg32 + \lg3 = \lg(32 \cdot 3) = \lg96$.

Ответ: $\lg96$.

2) Для упрощения выражения $2\ln3 + 3\ln2$ применим свойство степени логарифма $n\log_a b = \log_a(b^n)$ к обоим слагаемым: $2\ln3 = \ln(3^2) = \ln9$ и $3\ln2 = \ln(2^3) = \ln8$. Теперь сложим полученные логарифмы, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$: $\ln9 + \ln8 = \ln(9 \cdot 8) = \ln72$.

Ответ: $\ln72$.

3) В выражении $3\lg4 - \ln8$ используются логарифмы с разными основаниями (десятичный и натуральный). Предположим, что в условии допущена опечатка, и оба логарифма должны быть с одинаковым основанием. Решим задачу для случая $3\lg4 - \lg8$. Применяем свойство степени логарифма $n\log_a b = \log_a(b^n)$: $3\lg4 = \lg(4^3) = \lg64$. Затем применяем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$: $\lg64 - \lg8 = \lg(64/8) = \lg8$.

Ответ: $\lg8$.

4) Для упрощения выражения $2\ln5 - 3\ln2$ используем свойство степени логарифма $n\log_a b = \log_a(b^n)$: $2\ln5 = \ln(5^2) = \ln25$ и $3\ln2 = \ln(2^3) = \ln8$. Далее используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$: $\ln25 - \ln8 = \ln(\frac{25}{8})$.

Ответ: $\ln(\frac{25}{8})$.

5) В выражении $\frac{1}{2}\ln4 + \ln3$ преобразуем первый член, используя свойство $n\log_a b = \log_a(b^n)$: $\frac{1}{2}\ln4 = \ln(4^{1/2}) = \ln(\sqrt{4}) = \ln2$. Теперь выражение имеет вид $\ln2 + \ln3$. Применяя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$, получаем: $\ln2 + \ln3 = \ln(2 \cdot 3) = \ln6$.

Ответ: $\ln6$.

6) Для упрощения $\frac{1}{3}\ln\frac{1}{8}$ применим свойство степени логарифма $n\log_a b = \log_a(b^n)$: $\frac{1}{3}\ln\frac{1}{8} = \ln((\frac{1}{8})^{1/3})$. Так как $(\frac{1}{8})^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$, выражение равно $\ln(\frac{1}{2})$. Используя свойство $\log_a(1/b) = -\log_a b$, можно записать ответ как $-\ln2$.

Ответ: $-\ln2$.

7) Чтобы упростить $3 - \lg2 - 2\lg5$, представим число 3 в виде десятичного логарифма: $3 = 3 \cdot \lg10 = \lg(10^3) = \lg1000$. Также преобразуем член $2\lg5$ с помощью свойства степени: $2\lg5 = \lg(5^2) = \lg25$. Выражение принимает вид $\lg1000 - \lg2 - \lg25$. Используя свойство разности и суммы логарифмов, получаем: $\lg1000 - (\lg2 + \lg25) = \lg1000 - \lg(2 \cdot 25) = \lg1000 - \lg50 = \lg(\frac{1000}{50}) = \lg20$.

Ответ: $\lg20$.

8) Для упрощения $2 - \frac{1}{2}\lg4 - \lg5$, сначала преобразуем $\frac{1}{2}\lg4$ с помощью свойства степени логарифма: $\frac{1}{2}\lg4 = \lg(4^{1/2}) = \lg2$. Выражение становится $2 - \lg2 - \lg5$. Сгруппируем логарифмы: $2 - (\lg2 + \lg5)$. Применим свойство суммы логарифмов: $\lg2 + \lg5 = \lg(2 \cdot 5) = \lg10$. Так как $\lg10 = 1$, выражение упрощается до $2 - 1 = 1$.

Ответ: $\text{1}$.