Номер 6.37, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.37. Докажите, что равенство является верным:

1) $lg300 = lg3 + 2;$

2) $lg0,05 = lg5 - 2;$

3) $lg5000 = 4 - lg2;$

4) $lg5 = 1 - lg2.$

1) Для доказательства равенства $ \lg300 = \lg3 + 2 $ преобразуем его левую часть, используя свойства десятичных логарифмов. Обозначение $ \lg $ соответствует логарифму по основанию 10.

Представим число 300 как произведение: $ 300 = 3 \times 100 $.

Применим свойство логарифма произведения $ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y $:

$ \lg300 = \lg(3 \times 100) = \lg3 + \lg100 $.

По определению десятичного логарифма, $ \lg100 = \lg(10^2) = 2 $.

Подставив это значение, получаем: $ \lg3 + 2 $.

Таким образом, $ \lg300 = \lg3 + 2 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство является верным.

2) Для доказательства равенства $ \lg0,05 = \lg5 - 2 $ преобразуем его левую часть.

Представим десятичную дробь 0,05 в виде обыкновенной дроби: $ 0,05 = \frac{5}{100} $.

Применим свойство логарифма частного $ \log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y $:

$ \lg0,05 = \lg(\frac{5}{100}) = \lg5 - \lg100 $.

Так как $ \lg100 = 2 $, получаем: $ \lg5 - 2 $.

Таким образом, $ \lg0,05 = \lg5 - 2 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство является верным.

3) Для доказательства равенства $ \lg5000 = 4 - \lg2 $ преобразуем его правую часть.

Представим число 4 в виде десятичного логарифма: $ 4 = 4 \cdot 1 = 4 \cdot \lg10 = \lg(10^4) = \lg10000 $.

Тогда правая часть равенства примет вид: $ \lg10000 - \lg2 $.

Применим свойство логарифма частного:

$ \lg10000 - \lg2 = \lg(\frac{10000}{2}) = \lg5000 $.

Правая часть равна левой, следовательно, $ \lg5000 = 4 - \lg2 $. Равенство доказано.

Ответ: Равенство является верным.

4) Для доказательства равенства $ \lg5 = 1 - \lg2 $ преобразуем его правую часть.

Представим число 1 в виде десятичного логарифма: $ 1 = \lg10 $.

Тогда правая часть равенства примет вид: $ \lg10 - \lg2 $.

Применим свойство логарифма частного:

$ \lg10 - \lg2 = \lg(\frac{10}{2}) = \lg5 $.

Правая часть равна левой, следовательно, $ \lg5 = 1 - \lg2 $. Равенство доказано.

Ответ: Равенство является верным.