Номер 6.41, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.41. Какое из чисел больше:

1) $ \lg \sqrt[6]{10} $ и $ \log_2\sqrt{2} $;

2) $ \log_4 2 $ и $ \log_{0.0625}0.25 $;

3) $ \log_5 \frac{1}{625} $ и $ \log_3 \frac{1}{27} $;

4) $ \lg 2 $ и $ \frac{1}{\log_4 1000} $?

1) $ \lg\sqrt[6]{10} $ и $ \log_2\sqrt{2} $

Чтобы сравнить два числа, преобразуем каждое из них, используя свойства логарифмов и степеней.

Найдем значение первого числа:

$ \lg\sqrt[6]{10} = \log_{10}(10^{\frac{1}{6}}) $.

Используя свойство логарифма $ \log_a(a^x) = x $, получаем:

$ \log_{10}(10^{\frac{1}{6}}) = \frac{1}{6} $.

Теперь найдем значение второго числа:

$ \log_2\sqrt{2} = \log_2(2^{\frac{1}{2}}) $.

Аналогично, используя то же свойство логарифма:

$ \log_2(2^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} $.

Осталось сравнить полученные дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{2} $.

Приведем их к общему знаменателю 6: $ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} $.

Так как $ 1 < 3 $, то $ \frac{1}{6} < \frac{3}{6} $.

Следовательно, $ \lg\sqrt[6]{10} < \log_2\sqrt{2} $.

Ответ: $ \log_2\sqrt{2} $.

2) $ \log_4 2 $ и $ \log_{0,0625} 0,25 $

Упростим каждое выражение.

Для первого числа:

$ \log_4 2 $. Так как $ 4 = 2^2 $, то $ 2 = \sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}} $.

$ \log_4 2 = \log_4(4^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} $.

Для второго числа:

$ \log_{0,0625} 0,25 $. Переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$ 0,25 = \frac{1}{4} $.

$ 0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16} $.

Выражение принимает вид $ \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{4} $.

Пусть $ \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{4} = x $. По определению логарифма, $ (\frac{1}{16})^x = \frac{1}{4} $.

Поскольку $ \frac{1}{16} = (\frac{1}{4})^2 $, уравнение можно переписать как:

$ ((\frac{1}{4})^2)^x = (\frac{1}{4})^1 $

$ (\frac{1}{4})^{2x} = (\frac{1}{4})^1 $

$ 2x = 1 $, откуда $ x = \frac{1}{2} $.

Таким образом, $ \log_{0,0625} 0,25 = \frac{1}{2} $.

Оба числа равны $ \frac{1}{2} $.

Ответ: числа равны.

3) $ \log_5 \frac{1}{625} $ и $ \log_3 \frac{1}{27} $

Вычислим значение каждого логарифма.

Для первого числа:

$ \log_5 \frac{1}{625} = \log_5 (625^{-1}) $.

Так как $ 625 = 5^4 $, то $ 625^{-1} = (5^4)^{-1} = 5^{-4} $.

$ \log_5 (5^{-4}) = -4 $.

Для второго числа:

$ \log_3 \frac{1}{27} = \log_3 (27^{-1}) $.

Так как $ 27 = 3^3 $, то $ 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3} $.

$ \log_3 (3^{-3}) = -3 $.

Теперь сравним полученные значения: $ -4 $ и $ -3 $.

Так как $ -3 > -4 $, то $ \log_3 \frac{1}{27} > \log_5 \frac{1}{625} $.

Ответ: $ \log_3 \frac{1}{27} $.

4) $ \lg 2 $ и $ \frac{1}{\log_4 1000} $

Первое число — это десятичный логарифм двух, $ \lg 2 = \log_{10} 2 $.

Преобразуем второе число, используя свойство логарифмов $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $.

$ \frac{1}{\log_4 1000} = \log_{1000} 4 $.

Теперь нам нужно сравнить $ \log_{10} 2 $ и $ \log_{1000} 4 $.

Для удобства сравнения приведем второй логарифм к основанию 10, используя формулу перехода к новому основанию $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $:

$ \log_{1000} 4 = \frac{\log_{10} 4}{\log_{10} 1000} = \frac{\lg 4}{\lg 1000} $.

Упростим числитель и знаменатель:

$ \lg 4 = \lg(2^2) = 2 \lg 2 $.

$ \lg 1000 = \lg(10^3) = 3 $.

Таким образом, второе число равно $ \frac{2 \lg 2}{3} = \frac{2}{3} \lg 2 $.

Теперь сравним $ \lg 2 $ и $ \frac{2}{3} \lg 2 $.

Так как основание логарифма $ 10 > 1 $ и аргумент $ 2 > 1 $, то $ \lg 2 > 0 $.

Поскольку $ 1 > \frac{2}{3} $, при умножении обеих частей неравенства на положительное число $ \lg 2 $ знак неравенства сохраняется:

$ 1 \cdot \lg 2 > \frac{2}{3} \cdot \lg 2 $.

Следовательно, $ \lg 2 > \frac{1}{\log_4 1000} $.

Ответ: $ \lg 2 $.