Номер 6.39, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.39. Известно, что $p = \log_b 2$, $q = \log_b 3$ и $r = \log_b 5$. Выразите число через $\text{p}$, $\text{q}$ и $\text{r}$:

1) $\log_b 6$;

2) $\log_b 108$;

3) $\log_b 45$.

1) log_b 6;

Для решения используем свойство логарифма произведения: $log_c(xy) = log_c(x) + log_c(y)$.

Сначала разложим число 6 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.

Применим свойство логарифма к этому выражению:

$log_b 6 = log_b(2 \cdot 3) = log_b 2 + log_b 3$.

Согласно условию, $p = log_b 2$ и $q = log_b 3$. Подставим эти значения:

$log_b 6 = p + q$.

Ответ: $p + q$.

2) log_b 108;

Используем свойства логарифма произведения и логарифма степени: $log_c(x^n) = n \cdot log_c(x)$.

Разложим число 108 на простые множители: $108 = 4 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$.

Применим свойства логарифмов:

$log_b 108 = log_b(2^2 \cdot 3^3) = log_b(2^2) + log_b(3^3) = 2 \cdot log_b 2 + 3 \cdot log_b 3$.

Подставим известные значения $p = log_b 2$ и $q = log_b 3$:

$log_b 108 = 2p + 3q$.

Ответ: $2p + 3q$.

3) log_b 45.

Используем те же свойства логарифмов.

Разложим число 45 на простые множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Применим свойства логарифмов:

$log_b 45 = log_b(3^2 \cdot 5) = log_b(3^2) + log_b 5 = 2 \cdot log_b 3 + log_b 5$.

Подставим известные значения $q = log_b 3$ и $r = log_b 5$:

$log_b 45 = 2q + r$.

Ответ: $2q + r$.