Номер 6.46, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.46. Вычислите:

1) $log_8 log_4 log_2 16$;

2) $log_4 log_2 log_3 81$;

3) $log_{\sqrt{6}} 3 \cdot log_3 36 + log_{\sqrt{3}} 8 \cdot log_4 81$;

4) $log_2 3 \cdot log_3 4 \cdot log_4 5 \cdot log_5 6 \cdot log_6 7 \cdot log_7 8$.

1) Вычислим выражение $log_3(log_4(log_2(16)))$ по частям, начиная с самого внутреннего логарифма.

Сначала найдем значение $log_2(16)$. Так как $16 = 2^4$, то по определению логарифма $log_2(16) = 4$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $log_3(log_4(4))$.

Далее, вычислим $log_4(4)$. По свойству логарифма $log_a(a) = 1$, поэтому $log_4(4) = 1$.

Выражение упрощается до $log_3(1)$.

Наконец, по свойству логарифма $log_a(1) = 0$ для любого основания $a \neq 1$. Следовательно, $log_3(1) = 0$.

Ответ: 0

2) Вычислим выражение $log_4(log_2(log_3(81)))$ последовательно, начиная изнутри.

Первый шаг — вычислить $log_3(81)$. Поскольку $81 = 3^4$, то $log_3(81) = 4$.

Подставляем полученное значение: $log_4(log_2(4))$.

Второй шаг — вычислить $log_2(4)$. Поскольку $4 = 2^2$, то $log_2(4) = 2$.

Теперь выражение имеет вид $log_4(2)$.

Третий шаг — найти $log_4(2)$. Пусть $log_4(2) = x$. По определению логарифма это эквивалентно уравнению $4^x = 2$.

Так как $4 = 2^2$, мы можем переписать уравнение как $(2^2)^x = 2^1$, что равно $2^{2x} = 2^1$.

Приравнивая показатели степеней, получаем $2x = 1$, откуда $x = 1/2$.

Ответ: 1/2

3) Рассмотрим выражение $log_{\sqrt{6}}{3} \cdot log_3{36} + log_{\sqrt{3}}{8} \cdot log_4{81}$ и вычислим каждое слагаемое отдельно.

Для первого слагаемого $log_{\sqrt{6}}{3} \cdot log_3{36}$ воспользуемся свойствами логарифмов: $log_{a^k}{b} = \frac{1}{k}log_a{b}$ и $log_a{b^k} = k \cdot log_a{b}$.

$log_{\sqrt{6}}{3} = log_{6^{1/2}}{3} = \frac{1}{1/2}log_6{3} = 2log_6{3}$.

$log_3{36} = log_3{6^2} = 2log_3{6}$.

Их произведение: $(2log_6{3}) \cdot (2log_3{6}) = 4 \cdot log_6{3} \cdot log_3{6}$.

Используя свойство $log_a{b} \cdot log_b{a} = 1$, получаем $4 \cdot 1 = 4$.

Теперь рассмотрим второе слагаемое $log_{\sqrt{3}}{8} \cdot log_4{81}$.

$log_{\sqrt{3}}{8} = log_{3^{1/2}}{2^3} = \frac{3}{1/2}log_3{2} = 6log_3{2}$.

$log_4{81} = log_{2^2}{3^4} = \frac{4}{2}log_2{3} = 2log_2{3}$.

Их произведение: $(6log_3{2}) \cdot (2log_2{3}) = 12 \cdot log_3{2} \cdot log_2{3}$.

Так как $log_3{2} \cdot log_2{3} = 1$, второе слагаемое равно $12 \cdot 1 = 12$.

Суммируем результаты: $4 + 12 = 16$.

Ответ: 16

4) Для вычисления произведения $log_2{3} \cdot log_3{4} \cdot log_4{5} \cdot log_5{6} \cdot log_6{7} \cdot log_7{8}$ используем формулу перехода к новому основанию: $log_b{a} = \frac{log_c{a}}{log_c{b}}$.

Переведем все логарифмы к общему основанию, например, к натуральному логарифму $ln$:

$\frac{ln{3}}{ln{2}} \cdot \frac{ln{4}}{ln{3}} \cdot \frac{ln{5}}{ln{4}} \cdot \frac{ln{6}}{ln{5}} \cdot \frac{ln{7}}{ln{6}} \cdot \frac{ln{8}}{ln{7}}$

Мы видим, что числитель каждой дроби сокращается со знаменателем следующей:

$\frac{\cancel{ln{3}}}{ln{2}} \cdot \frac{\cancel{ln{4}}}{\cancel{ln{3}}} \cdot \frac{\cancel{ln{5}}}{\cancel{ln{4}}} \cdot \frac{\cancel{ln{6}}}{\cancel{ln{5}}} \cdot \frac{\cancel{ln{7}}}{\cancel{ln{6}}} \cdot \frac{ln{8}}{\cancel{ln{7}}}$

После сокращения остается только $\frac{ln{8}}{ln{2}}$.

По формуле перехода к новому основанию в обратном порядке $\frac{ln{b}}{ln{a}} = log_a{b}$, получаем: $\frac{ln{8}}{ln{2}} = log_2{8}$.

Так как $8 = 2^3$, то $log_2{8} = 3$.

Этот же результат можно получить, последовательно применяя свойство $log_a{b} \cdot log_b{c} = log_a{c}$:

$(log_2{3} \cdot log_3{4}) \cdot ... = log_2{4} \cdot log_4{5} \cdot ... = log_2{5} \cdot ...$

Вся цепочка сворачивается в $log_2{8}$, что равно 3.

Ответ: 3