Номер 6.48, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.48. Запишите данное число в виде логарифма по основанию $\text{a}$ ($a > 0, a \neq 1$):

1) $\text{2}$;

2) $\frac{1}{2}$;

3) $-1$;

4) $\frac{1}{3}$;

5) $\text{1}$;

6) $\text{0}$;

7) $-\frac{3}{4}$.

Чтобы записать данное число в виде логарифма по основанию $\text{a}$, мы используем основное логарифмическое тождество. Логарифм по определению является показателем степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить подлогарифмическое выражение. Это можно выразить формулой: $c = \log_a(a^c)$. Эта формула позволяет представить любое число $\text{c}$ как логарифм с основанием $\text{a}$, где подлогарифмическое выражение равно $a^c$. При этом по условию $a > 0$ и $a \ne 1$. Применим это правило к каждому из заданных чисел.

1) Для числа 2, где $c = 2$, подставляем это значение в формулу $c = \log_a(a^c)$. Получаем: $2 = \log_a(a^2)$. Таким образом, число 2 в виде логарифма по основанию $\text{a}$ записывается как $\log_a(a^2)$.

Ответ: $\log_a(a^2)$.

2) Для числа $\frac{1}{2}$, где $c = \frac{1}{2}$, применяем ту же формулу: $\frac{1}{2} = \log_a(a^{\frac{1}{2}})$. Показатель степени $\frac{1}{2}$ эквивалентен извлечению квадратного корня, поэтому выражение можно также записать как $\log_a(\sqrt{a})$.

Ответ: $\log_a(a^{\frac{1}{2}})$.

3) Для числа -1, где $c = -1$, формула дает: $-1 = \log_a(a^{-1})$. Отрицательный показатель степени означает обратное число, поэтому выражение можно записать как $\log_a(\frac{1}{a})$.

Ответ: $\log_a(a^{-1})$.

4) Для числа $\frac{1}{3}$, где $c = \frac{1}{3}$, получаем: $\frac{1}{3} = \log_a(a^{\frac{1}{3}})$. Дробный показатель $\frac{1}{3}$ соответствует кубическому корню, поэтому можно записать $\log_a(\sqrt[3]{a})$.

Ответ: $\log_a(a^{\frac{1}{3}})$.

5) Для числа 1, где $c = 1$, имеем: $1 = \log_a(a^1)$. По свойству степеней $a^1 = a$, поэтому получаем $\log_a(a)$. Это известное свойство логарифмов: логарифм от основания равен единице.

Ответ: $\log_a(a)$.

6) Для числа 0, где $c = 0$, имеем: $0 = \log_a(a^0)$. Любое положительное число в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$), поэтому получаем $\log_a(1)$. Это также является основным свойством логарифмов: логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Ответ: $\log_a(1)$.

7) Для числа $-\frac{3}{4}$, где $c = -\frac{3}{4}$, по формуле получаем: $-\frac{3}{4} = \log_a(a^{-\frac{3}{4}})$. Это выражение можно преобразовать, используя свойства степеней: $a^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{a^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{a^3}}$.

Ответ: $\log_a(a^{-\frac{3}{4}})$.