Номер 6.45, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.45. Известно, что $\log_a x = n$, $\log_b x = m$, $\log_c x = k$. Найдите $\log_{abc} x$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма. В частности, нам понадобится следствие из этой формулы, которое позволяет поменять местами основание логарифма и число под знаком логарифма: $\log_u v = \frac{1}{\log_v u}$.

Согласно условию, нам даны три равенства:

1. $\log_a x = n$

2. $\log_b x = m$

3. $\log_c x = k$

Применим указанное выше свойство к каждому из этих равенств, чтобы выразить логарифмы по основанию $\text{x}$. Это целесообразно, так как переменные $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ перейдут из оснований в аргументы логарифмов, что позволит в дальнейшем их сгруппировать.

Из $\log_a x = n$ следует, что $\log_x a = \frac{1}{n}$.

Из $\log_b x = m$ следует, что $\log_x b = \frac{1}{m}$.

Из $\log_c x = k$ следует, что $\log_x c = \frac{1}{k}$.

Теперь преобразуем искомое выражение $\log_{abc} x$, используя то же самое свойство:

$\log_{abc} x = \frac{1}{\log_x (abc)}$

Воспользуемся свойством логарифма произведения, согласно которому логарифм произведения равен сумме логарифмов: $\log_v (M \cdot N \cdot P) = \log_v M + \log_v N + \log_v P$.

Применим это к знаменателю нашего выражения:

$\log_x (abc) = \log_x a + \log_x b + \log_x c$

Теперь подставим в это равенство выражения для $\log_x a$, $\log_x b$ и $\log_x c$, которые мы нашли ранее:

$\log_x (abc) = \frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $nmk$:

$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} = \frac{mk}{nmk} + \frac{nk}{nmk} + \frac{nm}{nmk} = \frac{nm + nk + mk}{nmk}$

Таким образом, мы получили:

$\log_x (abc) = \frac{nm + nk + mk}{nmk}$

Наконец, подставим это выражение в формулу для искомого логарифма:

$\log_{abc} x = \frac{1}{\log_x (abc)} = \frac{1}{\frac{nm + nk + mk}{nmk}}$

Переворачивая дробь в знаменателе, получаем окончательный результат:

$\log_{abc} x = \frac{nmk}{nm + nk + mk}$

Ответ: $\frac{nmk}{nm + nk + mk}$