Номер 6.40, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.40. Сравните числа:

1) $log_5 2$ и $\frac{1}{log_4 25}$;

2) $log_2 3$ и $\frac{1}{log_3 2}$;

3) $log_{\sqrt{2}} \sqrt{3}$ и $\frac{1}{log_3 2}$.

1) Сравним числа $log_5 2$ и $\frac{1}{log_4 25}$.

Для сравнения преобразуем второе выражение. Воспользуемся свойством логарифма $\frac{1}{log_b a} = log_a b$:

$\frac{1}{log_4 25} = log_{25} 4$.

Теперь представим основание $25$ как $5^2$ и аргумент $\text{4}$ как $2^2$:

$log_{25} 4 = log_{5^2} 2^2$.

Применим свойство логарифма $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} log_a b$:

$log_{5^2} 2^2 = \frac{2}{2} log_5 2 = 1 \cdot log_5 2 = log_5 2$.

Таким образом, второе число равно первому.

Ответ: $log_5 2 = \frac{1}{log_4 25}$.

2) Сравним числа $log_2 3$ и $\frac{1}{log_3 2}$.

Преобразуем второе выражение, используя свойство логарифма о переходе к другому основанию, которое в данном случае выглядит так: $\frac{1}{log_b a} = log_a b$.

$\frac{1}{log_3 2} = log_2 3$.

Как мы видим, второе выражение в точности равно первому.

Ответ: $log_2 3 = \frac{1}{log_3 2}$.

3) Сравним числа $log_{\sqrt{2}} \sqrt{3}$ и $\frac{1}{log_3 2}$.

Сначала преобразуем первое число. Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ и $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.

$log_{\sqrt{2}} \sqrt{3} = log_{2^{1/2}} 3^{1/2}$.

Используя свойство $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} log_a b$, получим:

$log_{2^{1/2}} 3^{1/2} = \frac{1/2}{1/2} log_2 3 = 1 \cdot log_2 3 = log_2 3$.

Теперь преобразуем второе число, используя свойство $\frac{1}{log_b a} = log_a b$:

$\frac{1}{log_3 2} = log_2 3$.

Оба выражения равны $log_2 3$, следовательно, исходные числа равны между собой.

Ответ: $log_{\sqrt{2}} \sqrt{3} = \frac{1}{log_3 2}$.