Номер 6.44, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.44. Вычислите:

1) $3^{1+\log_3 5}$;

2) $2^{4+\log_2 5}$;

3) $\sqrt{25^{2+\frac{1}{2}\log_5 36}}$;

4) $2^{\log_{\sqrt{2}} 5 + 4\log_{0.5} 5}$.

1) Для решения используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$3^{1+\log_3 8} = 3^1 \cdot 3^{\log_3 8} = 3 \cdot 8 = 24$.

Ответ: 24.

2) Аналогично первому пункту, используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$2^{4+\log_2 5} = 2^4 \cdot 2^{\log_2 5} = 16 \cdot 5 = 80$.

Ответ: 80.

3) Сначала преобразуем выражение под корнем. Упростим показатель степени $2+\frac{1}{2}\log_5 36$.

Используем свойство логарифма $c \log_a b = \log_a b^c$:

$2 + \frac{1}{2}\log_5 36 = 2 + \log_5 36^{1/2} = 2 + \log_5 \sqrt{36} = 2 + \log_5 6$.

Представим число 2 в виде логарифма с основанием 5, используя формулу $a = \log_b b^a$:

$2 = \log_5 5^2 = \log_5 25$.

Теперь показатель степени можно записать как сумму логарифмов, используя свойство $\log_a m + \log_a n = \log_a (m \cdot n)$:

$\log_5 25 + \log_5 6 = \log_5 (25 \cdot 6) = \log_5 150$.

Подставим полученный показатель в выражение под корнем:

$25^{\log_5 150} = (5^2)^{\log_5 150} = 5^{2 \log_5 150} = 5^{\log_5 150^2} = 150^2$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{150^2} = 150$.

Ответ: 150.

4) Упростим показатель степени, приведя оба логарифма к одному основанию. В качестве общего основания выберем 2.

Показатель степени: $\log_{\sqrt{2}} 5 + 4\log_{0.5} 5$.

Преобразуем первое слагаемое, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$. Поскольку $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, получаем:

$\log_{\sqrt{2}} 5 = \log_{2^{1/2}} 5 = \frac{1}{1/2} \log_2 5 = 2\log_2 5$.

Преобразуем второе слагаемое. Поскольку $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, получаем:

$4\log_{0.5} 5 = 4\log_{2^{-1}} 5 = 4 \cdot (\frac{1}{-1} \log_2 5) = -4\log_2 5$.

Теперь сложим преобразованные части показателя:

$2\log_2 5 + (-4\log_2 5) = -2\log_2 5$.

Используя свойство $c \log_a b = \log_a b^c$, получим:

$-2\log_2 5 = \log_2 5^{-2} = \log_2 \frac{1}{25}$.

Подставим упрощенный показатель в исходное выражение:

$2^{\log_2 (1/25)}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$2^{\log_2 (1/25)} = \frac{1}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{25}$.