Номер 6.49, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.49. Докажите, что для любых положительных и не равных 1 чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ справедливо следующее тождество:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

Для доказательства данного тождества воспользуемся определением логарифма и его свойствами.

По определению, логарифм $\log_a b$ — это число $\text{x}$, такое что $a^x = b$.

Запишем это:

Пусть $\log_a b = x$, тогда $a^x = b$.

Поскольку по условию $b > 0$ и $b \neq 1$, мы можем прологарифмировать обе части равенства $a^x = b$ по основанию $\text{b}$:

$\log_b(a^x) = \log_b b$

В левой части применим свойство логарифма степени: $\log_c(M^p) = p \cdot \log_c M$. В правой части учтем, что логарифм числа по тому же основанию равен единице: $\log_b b = 1$.

Получим:

$x \cdot \log_b a = 1$

По условию $a > 0$ и $a \neq 1$. Если бы $\log_b a = 0$, то это означало бы, что $b^0=a$, то есть $a=1$, что противоречит условию. Следовательно, $\log_b a \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\log_b a$:

$x = \frac{1}{\log_b a}$

Вспомним, что мы изначально обозначили $x = \log_a b$. Подставив это обратно, получаем доказываемое тождество:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

Тождество доказано.

Ответ: Доказательство основано на определении логарифма и его свойстве вынесения показателя степени из-под знака логарифма. Пусть $x = \log_a b$, тогда по определению $a^x = b$. Логарифмируя обе части по основанию $\text{b}$, получаем $\log_b(a^x) = \log_b b$, что равносильно $x \cdot \log_b a = 1$. Отсюда, так как $a \neq 1$, $\log_b a \neq 0$, и мы можем выразить $x = \frac{1}{\log_b a}$. Подставляя обратно $x=\log_a b$, получаем искомое тождество $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$, что и требовалось доказать.