Номер 6.43, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.43. Рост количества бактерий в зависимости от времени определяется следующей формулой:

$x = \frac{t(\lg B - \lg q)}{\lg \frac{p}{q}}$

где $\text{q}$ – начальное количество бактерий, $\text{p}$ – количество бактерий через время $\text{t}$, $\text{B}$ – заданное количество бактерий, $\text{x}$ – время, через которое количество бактерий достигнет значения $\text{B}$.

В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после размещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента размещения бактерий в питательную среду их число достигнет 500?

Для решения задачи воспользуемся предоставленной формулой роста количества бактерий:

$$x = \frac{t(\lg B - \lg q)}{\lg \frac{p}{q}}$$

В этой формуле $\text{q}$ – это начальное количество бактерий, $\text{p}$ – количество бактерий через время $\text{t}$, $\text{B}$ – заданное количество бактерий, а $\text{x}$ – время, за которое число бактерий достигнет значения $\text{B}$.

Из условия задачи нам известны следующие значения: начальное количество бактерий $q = 8$. Через время $t = 2$ часа их число возросло до $p = 100$.

Требуется найти время $\text{x}$, за которое число бактерий достигнет значения $B = 500$.

Подставим известные значения в формулу. Для удобства вычислений знаменатель $\lg \frac{p}{q}$ можно представить в виде разности логарифмов $\lg p - \lg q$.

$$x = \frac{t(\lg B - \lg q)}{\lg p - \lg q} = \frac{2(\lg 500 - \lg 8)}{\lg 100 - \lg 8}$$

Применим свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg \frac{a}{b}$ как для числителя, так и для знаменателя:

$$x = \frac{2 \lg(\frac{500}{8})}{\lg(\frac{100}{8})}$$

Выполним деление в скобках:

$$x = \frac{2 \lg(62.5)}{\lg(12.5)}$$

Данное выражение можно представить через логарифм по другому основанию, используя формулу $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$:

$$x = 2 \cdot \log_{12.5}(62.5)$$

Для вычисления значения воспользуемся калькулятором или приближенными значениями логарифмов:

$$x = 2 \cdot \frac{\lg(62.5)}{\lg(12.5)} \approx 2 \cdot \frac{1.7959}{1.0969} \approx 2 \cdot 1.6373 \approx 3.2746$$

Округлив результат до сотых, получаем, что искомое время составляет примерно 3,27 часа.

Ответ: 3,27 ч.