Номер 6.36, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.36. Упростите:

1) $\frac{\lg4}{\lg2}$;

2) $\frac{\ln27}{\ln9}$;

3) $\frac{\lg3}{\lg9}$;

4) $\frac{\ln25}{\ln0,2}$.

1)

Для упрощения выражения $\frac{\lg4}{\lg2}$ воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$. В данном случае основание $c=10$ (десятичный логарифм), $a=4$ и $b=2$.

Применяя формулу, получаем: $\frac{\lg4}{\lg2} = \log_2 4$.

По определению логарифма, $\log_2 4$ — это степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число 4. Так как $2^2 = 4$, то $\log_2 4 = 2$.

Другой способ решения — использовать свойство логарифма степени $\log_c (a^p) = p \cdot \log_c a$.

Представим числитель: $\lg4 = \lg(2^2) = 2\lg2$.

Подставим это в исходное выражение: $\frac{2\lg2}{\lg2} = 2$.

Ответ: 2

2)

Для упрощения выражения $\frac{\ln27}{\ln9}$ используем ту же формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$. Здесь основание $c=e$ (натуральный логарифм), $a=27$ и $b=9$.

$\frac{\ln27}{\ln9} = \log_9 27$.

Чтобы найти значение $\log_9 27$, представим 9 и 27 как степени одного числа, например, 3. Имеем: $9=3^2$ и $27=3^3$.

Пусть $\log_9 27 = x$. Тогда по определению логарифма $9^x = 27$. Заменяем 9 и 27 их степенными представлениями: $(3^2)^x = 3^3$, что дает $3^{2x} = 3^3$. Приравнивая показатели степени, получаем $2x = 3$, откуда $x = \frac{3}{2}$.

Альтернативный способ: используя свойство логарифма степени, преобразуем числитель и знаменатель: $\ln27 = \ln(3^3) = 3\ln3$ и $\ln9 = \ln(3^2) = 2\ln3$.

Тогда частное равно: $\frac{3\ln3}{2\ln3} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

3)

Упростим выражение $\frac{\lg3}{\lg9}$. По формуле перехода к новому основанию: $\frac{\lg3}{\lg9} = \log_9 3$.

Нужно найти степень, в которую надо возвести 9, чтобы получить 3. Так как $\sqrt{9}=3$, а квадратный корень соответствует возведению в степень $\frac{1}{2}$, то $9^{1/2} = 3$.

Следовательно, $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.

Альтернативный способ: преобразовать знаменатель, используя свойство логарифма степени. $\lg9 = \lg(3^2) = 2\lg3$.

Подставив в дробь, получим: $\frac{\lg3}{2\lg3} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

4)

Упростим выражение $\frac{\ln25}{\ln0,2}$. По формуле перехода к новому основанию: $\frac{\ln25}{\ln0,2} = \log_{0,2} 25$.

Чтобы вычислить $\log_{0,2} 25$, представим основание $0,2$ и число $25$ в виде степеней одного числа. Основание $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. Число под логарифмом $25 = 5^2$.

Пусть $\log_{0,2} 25 = x$. Тогда по определению логарифма $(0,2)^x = 25$. Подставляя степенные представления числа 5, получаем $(5^{-1})^x = 5^2$, что дает $5^{-x} = 5^2$. Отсюда $-x = 2$, и $x = -2$.

Альтернативный способ: преобразуем числитель и знаменатель: $\ln25 = \ln(5^2) = 2\ln5$ и $\ln0,2 = \ln(\frac{1}{5}) = \ln(5^{-1}) = -1\cdot\ln5 = -\ln5$.

Подставляем в дробь: $\frac{2\ln5}{-\ln5} = -2$.

Ответ: -2