Номер 6.31, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.31. Вычислите:

1) $log_2 32;$

2) $log_{\sqrt{3}} 81;$

3) $log_a \sqrt[7]{a};$

4) $log_{\sqrt{a}} \sqrt[4]{a^3};$

5) $log_{\sqrt{a}} \sqrt{1};$

6) $log_5 \frac{1}{\sqrt{5}};$

7) $log_7 343;$

8) $lg 0,01.$

1) Для вычисления $ \log_2 32 $ необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число 32. Поскольку $ 2^5 = 32 $, то искомая степень равна 5.

Таким образом, $ \log_2 32 = 5 $.

Ответ: 5

2) Для вычисления $ \log_{\sqrt{3}} 81 $ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней с одним и тем же основанием 3.

Основание: $ \sqrt{3} = 3^{1/2} $.

Аргумент: $ 81 = 3^4 $.

Теперь выражение имеет вид $ \log_{3^{1/2}} 3^4 $.

Используем свойство логарифма $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $:

$ \log_{3^{1/2}} 3^4 = \frac{4}{1/2} \log_3 3 = 8 \cdot 1 = 8 $.

Ответ: 8

3) Для вычисления $ \log_{a^2} \sqrt[7]{a} $ представим аргумент в виде степени с основанием $\text{a}$: $ \sqrt[7]{a} = a^{1/7} $.

Выражение принимает вид $ \log_{a^2} a^{1/7} $.

Используем свойство логарифма $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $:

$ \log_{a^2} a^{1/7} = \frac{1/7}{2} \log_a a = \frac{1}{14} \cdot 1 = \frac{1}{14} $.

Ответ: $ \frac{1}{14} $

4) Для вычисления $ \log_{\sqrt[4]{a}} \sqrt[4]{a^3} $ представим основание и аргумент как степени с основанием $\text{a}$.

Основание: $ \sqrt[4]{a} = a^{1/4} $.

Аргумент: $ \sqrt[4]{a^3} = (a^3)^{1/4} = a^{3/4} $.

Выражение принимает вид $ \log_{a^{1/4}} a^{3/4} $.

Используем свойство $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $:

$ \log_{a^{1/4}} a^{3/4} = \frac{3/4}{1/4} \log_a a = 3 \cdot 1 = 3 $.

Ответ: 3

5) Вычислим $ \log_{\sqrt{a}} \sqrt{1} $.

Так как $ \sqrt{1} = 1 $, выражение упрощается до $ \log_{\sqrt{a}} 1 $.

Логарифм единицы по любому допустимому основанию (в данном случае $ a > 0, a \neq 1 $) всегда равен нулю, поскольку любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $ (\sqrt{a})^0 = 1 $.

Ответ: 0

6) Для вычисления $ \log_5 \frac{1}{\sqrt{5}} $ представим аргумент как степень с основанием 5.

$ \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{5^{1/2}} = 5^{-1/2} $.

Тогда выражение принимает вид $ \log_5 (5^{-1/2}) $.

Используя основное свойство логарифма $ \log_a (a^x) = x $, получаем:

$ \log_5 (5^{-1/2}) = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

7) Для вычисления $ \log_7 343 $ необходимо найти степень, в которую нужно возвести 7, чтобы получить 343.

Поскольку $ 7^1 = 7 $, $ 7^2 = 49 $ и $ 7^3 = 49 \cdot 7 = 343 $, то искомая степень равна 3.

Таким образом, $ \log_7 343 = 3 $.

Ответ: 3

8) Стандартное обозначение $ \lg $ означает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Нижний индекс 2 в выражении $ \lg_2 0,01 $, скорее всего, является опечаткой в условии, так как $ \log_2 0,01 $ не является простым рациональным числом, в отличие от ответов в остальных пунктах. Поэтому наиболее вероятно, что имелось в виду выражение $ \lg 0,01 $.

$ \lg 0,01 = \log_{10} 0.01 $.

Представим аргумент в виде степени с основанием 10:

$ 0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2} $.

Тогда, используя свойство $ \log_a (a^x) = x $:

$ \log_{10} (10^{-2}) = -2 $.

Ответ: -2