Номер 6.34, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.34. Упростите:

1) $ \lg8 + \lg2; $

2) $ \ln8 - \ln2; $

3) $ \lg40 - \lg5; $

4) $ \ln4 + \ln5; $

5) $ \lg2 + \lg3 + \lg4; $

6) $ 1 + \ln3; $

7) $ \lg4 - 1; $

8) $ \ln6 - \ln2 - \ln3; $

9) $ \lg5 + \lg4 - \lg2; $

10) $ \ln \frac{4}{3} + \ln3 + \ln7. $

1) Для упрощения выражения $\lg 8 + \lg 2$ используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$. В данном случае основание равно 10.

$\lg 8 + \lg 2 = \lg(8 \cdot 2) = \lg 16$.

Ответ: $\lg 16$.

2) Для упрощения выражения $\ln 8 - \ln 2$ используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$. В данном случае основание равно $\text{e}$.

$\ln 8 - \ln 2 = \ln(\frac{8}{2}) = \ln 4$.

Ответ: $\ln 4$.

3) Для упрощения выражения $\lg 40 - \lg 5$ используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$.

$\lg 40 - \lg 5 = \lg(\frac{40}{5}) = \lg 8$.

Ответ: $\lg 8$.

4) Для упрощения выражения $\ln 4 + \ln 5$ используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.

$\ln 4 + \ln 5 = \ln(4 \cdot 5) = \ln 20$.

Ответ: $\ln 20$.

5) Для упрощения выражения $\lg 2 + \lg 3 + \lg 4$ применяем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c + \log_a d = \log_a(b \cdot c \cdot d)$.

$\lg 2 + \lg 3 + \lg 4 = \lg(2 \cdot 3 \cdot 4) = \lg 24$.

Ответ: $\lg 24$.

6) Чтобы упростить выражение $1 + \ln 3$, представим 1 в виде натурального логарифма. Мы знаем, что $\ln e = 1$.

$1 + \ln 3 = \ln e + \ln 3$.

Теперь используем свойство суммы логарифмов: $\ln e + \ln 3 = \ln(e \cdot 3) = \ln(3e)$.

Ответ: $\ln(3e)$.

7) Чтобы упростить выражение $\lg 4 - 1$, представим 1 в виде десятичного логарифма. Мы знаем, что $\lg 10 = 1$.

$\lg 4 - 1 = \lg 4 - \lg 10$.

Теперь используем свойство разности логарифмов: $\lg 4 - \lg 10 = \lg(\frac{4}{10}) = \lg(0.4)$.

Ответ: $\lg(0.4)$.

8) Для упрощения выражения $\ln 6 - \ln 2 - \ln 3$ используем свойство разности логарифмов. Можно записать это как: $\log_a b - \log_a c - \log_a d = \log_a(\frac{b}{c \cdot d})$.

$\ln 6 - \ln 2 - \ln 3 = \ln(\frac{6}{2 \cdot 3}) = \ln(\frac{6}{6}) = \ln 1$.

Так как логарифм единицы по любому основанию равен нулю, $\ln 1 = 0$.

Ответ: $\text{0}$.

9) Для упрощения выражения $\lg 5 + \lg 4 - \lg 2$ последовательно применим свойства сложения и вычитания логарифмов: $\log_a b + \log_a c - \log_a d = \log_a(\frac{b \cdot c}{d})$.

$\lg 5 + \lg 4 - \lg 2 = \lg(\frac{5 \cdot 4}{2}) = \lg(\frac{20}{2}) = \lg 10$.

Так как десятичный логарифм от 10 равен 1, то $\lg 10 = 1$.

Ответ: $\text{1}$.

10) Для упрощения выражения $\ln \frac{4}{3} + \ln 3 + \ln 7$ используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c + \log_a d = \log_a(b \cdot c \cdot d)$.

$\ln \frac{4}{3} + \ln 3 + \ln 7 = \ln(\frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 7)$.

Сокращаем тройки: $\ln(4 \cdot 7) = \ln 28$.

Ответ: $\ln 28$.