Номер 6.53, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.53. Выполните действия:

1) $\log_a \sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^4 \sqrt{a}}}$;

2) $-\log_2 \log_2 \sqrt[4]{2}$.

1) Для вычисления значения выражения $log_a \sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a \cdot \sqrt[4]{a}}}$ сначала упростим подлогарифмическое выражение. Преобразуем корни в степени с дробными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$, и будем упрощать выражение, двигаясь изнутри наружу. Сначала внутреннее произведение: $a \cdot \sqrt[4]{a} = a^1 \cdot a^{1/4} = a^{1 + \frac{1}{4}} = a^{5/4}$. Далее, кубический корень: $\sqrt[3]{a \cdot \sqrt[4]{a}} = \sqrt[3]{a^{5/4}} = (a^{5/4})^{1/3} = a^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = a^{5/12}$. Следующее произведение: $a \cdot \sqrt[3]{a \cdot \sqrt[4]{a}} = a^1 \cdot a^{5/12} = a^{1 + \frac{5}{12}} = a^{17/12}$. И, наконец, внешний квадратный корень: $\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a \cdot \sqrt[4]{a}}} = \sqrt{a^{17/12}} = (a^{17/12})^{1/2} = a^{\frac{17}{12} \cdot \frac{1}{2}} = a^{17/24}$. Теперь подставляем упрощенное выражение обратно в логарифм: $log_a (a^{17/24})$. Используя основное свойство логарифма $log_b(b^x) = x$, получаем $log_a(a^{17/24}) = \frac{17}{24}$.

Ответ: $\frac{17}{24}$.

2) Рассмотрим выражение $-log_2(log_2 \sqrt[4]{\sqrt{2}})$. Будем вычислять его по частям, начиная с самого внутреннего аргумента. Сначала упростим выражение $\sqrt[4]{\sqrt{2}}$. Используя представление корня в виде степени ($\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$), получаем: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, следовательно $\sqrt[4]{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2^{1/2}} = (2^{1/2})^{1/4} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} = 2^{1/8}$. Теперь вычислим внутренний логарифм: $log_2(\sqrt[4]{\sqrt{2}}) = log_2(2^{1/8})$. По свойству логарифма $log_b(b^x) = x$ имеем $log_2(2^{1/8}) = \frac{1}{8}$. Подставим это значение в исходное выражение: $-log_2(\frac{1}{8})$. Чтобы вычислить $log_2(\frac{1}{8})$, представим $\frac{1}{8}$ как степень двойки: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$. Тогда $log_2(\frac{1}{8}) = log_2(2^{-3}) = -3$. Наконец, учтем знак минус перед выражением: $-(-3) = 3$.

Ответ: 3.