Работа в группе, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Применяя свойства 7°, 8°, докажите свойство 9°: $\log_m a \cdot \log_n b = \log_n a \cdot \log_m b$, $a, b > 0, a \ne 1, b \ne 1$.

Быстрый способ определения знака числа$\log_a b$: если $a > 1, b > 1$ или $0 < a < 1, 0 < b < 1$, то $\log_a b > 0$; если $a > 1, 0 < b < 1$ или $0 < a < 1, b > 1$, то $\log_a b < 0$.

Применяя свойства 7o , 8o , докажите свойство 9o : $\log_m a \cdot \log_n b = \log_n a \cdot \log_m b$, a, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1.

Для доказательства свойства 9o необходимо использовать два других свойства логарифмов, обозначенных как 7o и 8o . Поскольку их точное определение в задаче не приведено, мы будем исходить из стандартных свойств, которые являются следствиями формулы перехода к новому основанию. Предположим, что:

Свойство 7o : $\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$ (связь логарифма с обратным основанием).

Свойство 8o : $\log_x y \cdot \log_y z = \log_x z$ (цепное правило).

Докажем тождество $\log_m a \cdot \log_n b = \log_n a \cdot \log_m b$. Подразумевается, что все основания логарифмов ($m, n$) и числа под логарифмами ($a, b$) положительны и не равны единице.

Преобразуем исходное равенство. Поскольку по условиям $a,b \neq 1$, то $\log_n a \neq 0$ и $\log_m b \neq 0$, и мы можем разделить обе части равенства на произведение $\log_n a \cdot \log_m b$:

$\frac{\log_m a \cdot \log_n b}{\log_n a \cdot \log_m b} = 1$

Сгруппируем множители в левой части по-другому:

$\frac{\log_m a}{\log_n a} \cdot \frac{\log_n b}{\log_m b} = 1$

Теперь докажем, что это равенство верно, преобразовав каждую из дробей в левой части.

Преобразуем первую дробь $\frac{\log_m a}{\log_n a}$. Используя свойство 7o , заменим $\frac{1}{\log_n a}$ на $\log_a n$:

$\frac{\log_m a}{\log_n a} = \log_m a \cdot \frac{1}{\log_n a} = \log_m a \cdot \log_a n$

Теперь, используя свойство 8o (цепное правило), получаем:

$\log_m a \cdot \log_a n = \log_m n$

Аналогично преобразуем вторую дробь $\frac{\log_n b}{\log_m b}$:

$\frac{\log_n b}{\log_m b} = \log_n b \cdot \frac{1}{\log_m b} = \log_n b \cdot \log_b m$

Используя снова свойство 8o , получаем:

$\log_n b \cdot \log_b m = \log_n m$

Подставим полученные результаты обратно в наше преобразованное уравнение:

$(\log_m n) \cdot (\log_n m) = 1$

Это равенство является верным, так как по свойству 7o : $\log_n m = \frac{1}{\log_m n}$.

Поскольку мы пришли к верному тождеству, исходное равенство также является верным.

Ответ: Тождество $\log_m a \cdot \log_n b = \log_n a \cdot \log_m b$ доказано с использованием свойств $\log_x y = 1/\log_y x$ и $\log_x y \cdot \log_y z = \log_x z$.

Быстрый способ определения знака числа $\log_a b$

Данный способ основан на свойствах монотонности показательной функции $y = a^x$, которая является обратной к логарифмической. Ниже приведено развернутое обоснование этого правила.

Пусть $x = \log_a b$. По определению логарифма это эквивалентно равенству $a^x = b$. Знак $\log_a b$ совпадает со знаком $\text{x}$.

Рассмотрим два случая для знака логарифма.

1. Случай, когда $\log_a b > 0$

Это означает, что показатель степени $x > 0$.

- Если основание $a > 1$, то показательная функция $y = a^t$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Так как $x > 0$, то $a^x > a^0$. Поскольку $a^x = b$ и $a^0 = 1$, получаем $b > 1$. Таким образом, если $a > 1$ и $b > 1$, то $\log_a b > 0$.

- Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция $y = a^t$ является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Так как $x > 0$, то $a^x < a^0$. Поскольку $a^x = b$ и $a^0 = 1$, получаем $b < 1$. С учетом области определения логарифма ($b > 0$), имеем $0 < b < 1$. Таким образом, если $0 < a < 1$ и $0 < b < 1$, то $\log_a b > 0$.

Вывод: логарифм положителен, когда основание $\text{a}$ и число $\text{b}$ находятся "по одну сторону" от единицы (оба больше 1, или оба в интервале от 0 до 1).

2. Случай, когда $\log_a b < 0$

Это означает, что показатель степени $x < 0$.

- Если основание $a > 1$ (возрастающая функция), то из $x < 0$ следует $a^x < a^0$, то есть $b < 1$. С учетом $b > 0$, получаем $0 < b < 1$. Таким образом, если $a > 1$ и $0 < b < 1$, то $\log_a b < 0$.

- Если основание $0 < a < 1$ (убывающая функция), то из $x < 0$ следует $a^x > a^0$, то есть $b > 1$. Таким образом, если $0 < a < 1$ и $b > 1$, то $\log_a b < 0$.

Вывод: логарифм отрицателен, когда основание $\text{a}$ и число $\text{b}$ находятся "по разные стороны" от единицы (одно больше 1, а другое в интервале от 0 до 1).

Ответ: Правило для определения знака логарифма является верным и полностью объясняется поведением (возрастанием или убыванием) соответствующей показательной функции.