Номер 6.23, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.23. Вычислите:

1) $\frac{a - 4 \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}} + 2a^{\frac{1}{2}}}$, если $a = 81$;

2) $\frac{a^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} - 3a^{\frac{1}{6}}}$, если $a = 64$.

1)

Дано выражение $ \frac{a - 4a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{3}{4}} + 2a^{\frac{1}{2}}} $ и значение $ a = 81 $.

Для упрощения выражения введем замену, чтобы избавиться от дробных степеней. Наименьшее общее кратное знаменателей показателей степеней (в данном случае это 2 и 4) равно 4. Поэтому введем замену $ x = a^{\frac{1}{4}} $.

Выразим остальные степени $\text{a}$ через $\text{x}$:

$ a = (a^{\frac{1}{4}})^4 = x^4 $

$ a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 = x^2 $

$ a^{\frac{3}{4}} = (a^{\frac{1}{4}})^3 = x^3 $

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$ \frac{x^4 - 4x^2}{x^3 + 2x^2} $

Теперь разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $ x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4) = x^2(x-2)(x+2) $ (используя формулу разности квадратов).

Знаменатель: $ x^3 + 2x^2 = x^2(x+2) $.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{x^2(x-2)(x+2)}{x^2(x+2)} $

Сократим дробь на общий множитель $ x^2(x+2) $. Это возможно, если $ x \neq 0 $ и $ x \neq -2 $.

После сокращения получаем: $ x - 2 $.

Теперь вернемся к исходной переменной $\text{a}$. Упрощенное выражение равно $ a^{\frac{1}{4}} - 2 $.

Подставим значение $ a = 81 $.

Сначала найдем значение $\text{x}$: $ x = 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3 $. Так как $ 3 \neq 0 $ и $ 3 \neq -2 $, сокращение было корректным.

Вычисляем значение выражения, подставляя $x=3$: $ 3 - 2 = 1 $.

Ответ: 1

2)

Дано выражение $ \frac{a^{\frac{1}{2}} - 9a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} - 3a^{\frac{1}{6}}} $ и значение $ a = 64 $.

Для упрощения выражения сделаем замену. Наименьшее общее кратное знаменателей показателей степеней (2, 6 и 3) равно 6. Пусть $ x = a^{\frac{1}{6}} $.

Тогда:

$ a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{6}} = (a^{\frac{1}{6}})^3 = x^3 $

$ a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{6}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 = x^2 $

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$ \frac{x^3 - 9x}{x^2 - 3x} $.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем $\text{x}$ за скобки: $ x(x^2 - 9) $. Применим формулу разности квадратов $ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) $. Получим $ x(x-3)(x+3) $.

В знаменателе вынесем $\text{x}$ за скобки: $ x(x-3) $.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{x(x-3)(x+3)}{x(x-3)} $.

Сократим дробь на общий множитель $ x(x-3) $, при условии, что $ x \neq 0 $ и $ x \neq 3 $.

Получим упрощенное выражение: $ x + 3 $.

Теперь выполним обратную замену $ x = a^{\frac{1}{6}} $. Упрощенное выражение: $ a^{\frac{1}{6}} + 3 $.

Подставим значение $ a = 64 $.

Найдем значение $\text{x}$: $ x = 64^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{64} = 2 $. Так как $ 2 \neq 0 $ и $ 2 \neq 3 $, сокращение было корректным.

Вычисляем значение, подставляя $x=2$: $ 2 + 3 = 5 $.

Ответ: 5