Номер 6.17, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.17. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = (2-\sqrt{3})^x$ на отрезке $[-1; 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = (2 - \sqrt{3})^x$ на отрезке $[-1; 1]$ необходимо исследовать ее на монотонность. Данная функция является показательной, и ее поведение зависит от основания $a = 2 - \sqrt{3}$.

Оценим значение основания. Известно, что $1 < \sqrt{3} < 2$, поскольку $1^2 = 1$, а $2^2 = 4$. Умножим все части неравенства $1 < \sqrt{3} < 2$ на $-1$, изменив знаки неравенства на противоположные: $-2 < -\sqrt{3} < -1$. Теперь прибавим $\text{2}$ ко всем частям: $2 - 2 < 2 - \sqrt{3} < 2 - 1$, что дает $0 < 2 - \sqrt{3} < 1$.

Поскольку основание $a = 2 - \sqrt{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, данная показательная функция является монотонно убывающей на всей области определения.

Для убывающей функции на отрезке $[-1; 1]$ наибольшее значение достигается в левой границе отрезка (при наименьшем значении $\text{x}$), а наименьшее — в правой границе (при наибольшем значении $\text{x}$).

Наибольшее значение

Наибольшее значение функция принимает при $x = -1$. Вычислим его: $y_{наиб} = (2 - \sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$.

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:

$y_{наиб} = \frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$.

Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

Наименьшее значение

Наименьшее значение функция принимает при $x = 1$. Вычислим его:

$y_{наим} = (2 - \sqrt{3})^1 = 2 - \sqrt{3}$.

Ответ: $2 - \sqrt{3}$.