Номер 6.16, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.16. Постройте график функции:

1) $y = e^{-|x|}$;

2) $y = e^{|x-1|}$;

3) $y = e^{|x|-1}$;

4) $y = |e^{|x|-1} - 1|$.

1) $y = e^{-|x|}$

Для построения графика функции $y = e^{-|x|}$ выполним следующие шаги:

1. Начнем с графика базовой показательной функции $y = e^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$.

2. Построим график функции $y = e^{-x}$. Он получается из графика $y = e^x$ путем симметричного отражения относительно оси OY. Это убывающая кривая, также проходящая через точку $(0, 1)$.

3. Теперь рассмотрим функцию $y = e^{-|x|}$. Эта функция является четной, так как $y(-x) = e^{-|-x|} = e^{-|x|} = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси OY.

4. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = e^{-x}$. Таким образом, для $x \ge 0$ график искомой функции совпадает с графиком функции $y = e^{-x}$, который мы построили на шаге 2.

5. Для $x < 0$ мы используем свойство четности и отражаем уже построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси OY. В качестве альтернативы, при $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = e^{-(-x)} = e^x$. Это подтверждает, что для $x < 0$ график совпадает с графиком $y=e^x$.

В результате мы получаем график, имеющий форму "колокола", с вершиной (точкой максимума) в точке $(0, 1)$. Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to \pm\infty$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY, имеет максимум в точке $(0,1)$. При $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=e^{-x}$. Ось OX является горизонтальной асимптотой.

2) $y = e^{|x-1|}$

Построение этого графика можно осуществить преобразованиями из графика $y=e^{|x|}$.

1. Сначала построим вспомогательный график функции $y = e^{|x|}$. Эта функция четная, ее график симметричен относительно оси OY. При $x \ge 0$, $|x|=x$, поэтому $y = e^x$. При $x < 0$, $|x|=-x$, поэтому $y = e^{-x}$. График $y = e^{|x|}$ состоит из двух ветвей: правой ветви $y=e^x$ для $x \ge 0$ и левой ветви $y=e^{-x}$ для $x < 0$. Они соединяются в точке $(0, 1)$, которая является точкой минимума.

2. Чтобы получить график функции $y = e^{|x-1|}$, необходимо выполнить преобразование $f(x) \to f(x-1)$ для функции $f(x)=e^{|x|}$. Это соответствует сдвигу графика $y = e^{|x|}$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

Таким образом, весь график, построенный на шаге 1, сдвигается вправо. Точка минимума перемещается из $(0, 1)$ в $(1, 1)$. Ось симметрии графика смещается с $x=0$ на $x=1$.

Можно также раскрыть модуль: - Если $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $y = e^{x-1}$. - Если $x-1 < 0$, то есть $x < 1$, то $y = e^{-(x-1)} = e^{1-x}$.

Ответ: График симметричен относительно прямой $x=1$, имеет точку минимума в $(1,1)$. При $x \ge 1$ он совпадает с графиком $y=e^{x-1}$, а при $x < 1$ - с графиком $y=e^{1-x}$.

3) $y = e^{|x|-1}$

Построение этого графика также выполним последовательными преобразованиями.

1. Начнем с графика функции $y = e^x$.

2. Построим график функции $y = e^{x-1}$. Он получается из графика $y=e^x$ сдвигом на 1 единицу вправо. График проходит через точку $(1, 1)$ и пересекает ось OY в точке $(0, e^{-1})$.

3. Теперь построим искомый график $y = e^{|x|-1}$. Это преобразование вида $f(x) \to f(|x|)$ для функции $f(x) = e^{x-1}$. Правило такого преобразования гласит: - Часть графика $y = e^{x-1}$ для $x \ge 0$ остается без изменений. - Часть графика для $x < 0$ удаляется, и вместо нее строится симметричное отражение части для $x \ge 0$ относительно оси OY.

Таким образом, мы берем часть графика $y=e^{x-1}$ справа от оси OY (включая точку на оси) и отражаем ее влево. Итоговый график является четной функцией, симметричной относительно оси OY. Он имеет "излом" (точку минимума) в точке $(0, e^{|0|-1}) = (0, e^{-1})$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY, имеет точку минимума в $(0, e^{-1})$. При $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=e^{x-1}$.

4) $y = |e^{|x|-1} - 1|$

Построение этого графика основывается на графике из предыдущего пункта.

1. Начнем с графика функции $g(x) = e^{|x|-1}$, который мы построили в пункте 3. Этот график симметричен относительно оси OY и имеет минимум в точке $(0, e^{-1})$.

2. Построим график функции $h(x) = e^{|x|-1} - 1$. Он получается из графика $g(x)$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси OY. - Точка минимума смещается из $(0, e^{-1})$ в точку $(0, e^{-1}-1)$. Так как $e \approx 2.718$, $e^{-1} \approx 0.368$, то $e^{-1}-1 \approx -0.632 < 0$. - Найдем точки пересечения этого графика с осью OX, решив уравнение $h(x)=0$: $e^{|x|-1} - 1 = 0 \implies e^{|x|-1} = 1 \implies |x|-1 = 0 \implies |x| = 1 \implies x = \pm 1$. Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

3. Наконец, строим график $y = |h(x)| = |e^{|x|-1} - 1|$. По определению модуля, $y \ge 0$. - Та часть графика $h(x)$, которая находится выше или на оси OX, остается без изменений. Это происходит при $x \le -1$ и $x \ge 1$. - Та часть графика $h(x)$, которая находится ниже оси OX, симметрично отражается относительно оси OX. Это происходит на интервале $x \in (-1, 1)$.

В результате: - Точка минимума $(0, e^{-1}-1)$ отражается в точку локального максимума $(0, -(e^{-1}-1)) = (0, 1 - e^{-1})$. - В точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ образуются "изломы" (угловые точки).

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Он касается оси OX в точках $(-1,0)$ и $(1,0)$ (это точки минимума функции), имеет локальный максимум в точке $(0, 1 - e^{-1})$ и уходит в бесконечность при $x \to \pm \infty$.