Номер 6.15, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.15*. При каких значениях $\text{a}$ из неравенства $a^m > a^n$ следует неравенство $m < n$?

Данное условие, "из неравенства $a^m > a^n$ следует неравенство $m < n$", является определением строго убывающей функции. То есть, нам нужно найти такие значения основания $\text{a}$, при которых показательная функция $f(x) = a^x$ является строго убывающей.

По определению, основание показательной функции $\text{a}$ должно быть положительным числом. Рассмотрим поведение функции $f(x) = a^x$ в зависимости от значения $\text{a}$.

1. Если основание $a > 1$, то показательная функция $y = a^x$ является строго возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, из неравенства $a^m > a^n$ будет следовать, что $m > n$. Это противоречит условию задачи, которое требует $m < n$.

2. Если основание $\text{a}$ находится в интервале $0 < a < 1$, то показательная функция $y = a^x$ является строго убывающей. Для такой функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Таким образом, из неравенства $a^m > a^n$ как раз и следует, что $m < n$. Этот случай полностью удовлетворяет условию задачи.

3. Если $a = 1$, то $a^m = 1^m = 1$ и $a^n = 1^n = 1$ для любых действительных $\text{m}$ и $\text{n}$. Неравенство $a^m > a^n$ принимает вид $1 > 1$, что является ложным утверждением. В формальной логике, если посылка ложна, то вся импликация (утверждение вида "если..., то...") считается истинной. Однако в контексте свойств функций предполагается, что исходное неравенство может выполняться. Так как при $a=1$ оно не выполняется никогда, этот случай не подходит для установления содержательной связи между показателями степени.

4. Если $a \le 0$, выражение $a^x$ в общем случае не определено для произвольных действительных показателей $\text{m}$ и $\text{n}$ (например, $(-2)^{1/2}$ не является действительным числом), поэтому такие значения $\text{a}$ не рассматриваются в качестве основания показательной функции.

Таким образом, единственным промежутком, на котором выполняется требуемое условие, является интервал, где показательная функция убывает.

Ответ: $0 < a < 1$.