Номер 6.10, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

6.10. Радиоактивное вещество распадается согласно закону $M = 250 \cdot 0,998^t$, где $\text{M}$ - масса (г), $\text{t}$ - время (годы). Найдите:

1) начальную массу радиоактивного вещества;

2) массу радиоактивного вещества через 400 лет;

3) время, за которое вещество распадется до 125 г (воспользуйтесь графическим калькулятором).

1) начальную массу радиоактивного вещества

Начальная масса вещества — это масса в начальный момент времени, то есть при $t = 0$ лет. Чтобы найти ее, подставим $t = 0$ в данную формулу:

$M = 250 \cdot 0,998^t$

$M(0) = 250 \cdot 0,998^0$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, то $0,998^0 = 1$.

$M(0) = 250 \cdot 1 = 250$ г.

Ответ: начальная масса радиоактивного вещества составляет 250 г.

2) массу радиоактивного вещества через 400 лет

Чтобы найти массу вещества через 400 лет, необходимо подставить в формулу значение $t = 400$:

$M(400) = 250 \cdot 0,998^{400}$

Для вычисления этого значения воспользуемся калькулятором:

$0,998^{400} \approx 0,44855$

$M(400) \approx 250 \cdot 0,44855 \approx 112,1375$ г.

Округлив результат до двух знаков после запятой, получаем 112,14 г.

Ответ: масса радиоактивного вещества через 400 лет составит примерно 112,14 г.

3) время, за которое вещество распадется до 125 г

В этом случае нам известна конечная масса $M = 125$ г, и нужно найти время $\text{t}$. Подставим известное значение массы в формулу:

$125 = 250 \cdot 0,998^t$

Для решения этого показательного уравнения сначала выразим $0,998^t$, разделив обе части на 250:

$\frac{125}{250} = 0,998^t$

$0,5 = 0,998^t$

Чтобы найти $\text{t}$, прологарифмируем обе части уравнения. Удобно использовать натуральный логарифм ($\ln$):

$\ln(0,5) = \ln(0,998^t)$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, получим:

$\ln(0,5) = t \cdot \ln(0,998)$

Отсюда выражаем $\text{t}$:

$t = \frac{\ln(0,5)}{\ln(0,998)}$

С помощью калькулятора находим значения логарифмов и вычисляем $\text{t}$:

$t \approx \frac{-0,693147}{-0,002002} \approx 346,227$ лет.

Округлим результат до одного знака после запятой.

При использовании графического калькулятора необходимо было бы построить графики функций $y_1 = 250 \cdot 0,998^x$ и $y_2 = 125$ и найти абсциссу (координату $\text{x}$) точки их пересечения, которая и является искомым временем $\text{t}$.

Ответ: вещество распадется до 125 г примерно за 346,2 года.