Номер 6.8, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.8. Планируется восстановить исчезнувшую популяцию тигров.

В 2018 г. были завезены 6 пар тигров. Рост популяции тигров определяется законом $N_t = N_0 \cdot 2^{0.18t}$, где $N_0$ – начальное количество тигров, $\text{t}$ – время (в годах). Вычислите:

1) количество тигров, ожидаемое в 2030 г.;

2) процентный прирост в период с 2018 г. по 2030 г.

1) количество тигров, ожидаемое в 2030 г.

Для начала определим исходные данные. Начальное количество тигров $N_0$ было завезено в 2018 году. По условию, это 6 пар тигров. Следовательно, начальная популяция составляет:

$N_0 = 6 \text{ пар} \times 2 \text{ тигра/пара} = 12$ тигров.

Далее определим временной промежуток $\text{t}$ в годах от начального 2018 года до целевого 2030 года:

$t = 2030 - 2018 = 12$ лет.

Теперь воспользуемся данной в условии формулой роста популяции $N_t = N_0 \cdot 2^{0.18t}$ для вычисления количества тигров в 2030 году, которое мы обозначим как $N_{12}$.

Подставим значения $N_0 = 12$ и $t = 12$ в формулу:

$N_{12} = 12 \cdot 2^{0.18 \cdot 12}$

Сперва вычислим показатель степени:

$0.18 \cdot 12 = 2.16$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$N_{12} = 12 \cdot 2^{2.16}$

Теперь вычислим значение $2^{2.16}$ с помощью калькулятора:

$2^{2.16} \approx 4.475$

Наконец, рассчитаем ожидаемое количество тигров:

$N_{12} \approx 12 \cdot 4.475 = 53.7$

Так как количество тигров должно быть целым числом, округляем полученный результат до ближайшего целого.

$N_{12} \approx 54$ тигра.

Ответ: ожидаемое количество тигров в 2030 г. составит примерно 54.

2) процентный прирост в период с 2018 г. по 2030 г.

Процентный прирост популяции вычисляется по формуле:

$\text{Процентный прирост} = \frac{N_t - N_0}{N_0} \cdot 100\%$

где $N_t$ — количество тигров в конце периода (в 2030 г.), а $N_0$ — начальное количество (в 2018 г.).

Мы знаем, что $N_0 = 12$ и $N_{12} \approx 53.7$. Подставим эти значения:

$\text{Процентный прирост} \approx \frac{53.7 - 12}{12} \cdot 100\% = \frac{41.7}{12} \cdot 100\% \approx 3.475 \cdot 100\% = 347.5\%$

Для большей точности можно использовать другой подход. Формулу процентного прироста можно переписать так:

$\text{Процентный прирост} = \left(\frac{N_t}{N_0} - 1\right) \cdot 100\%$

Из основной формулы $N_t = N_0 \cdot 2^{0.18t}$ выразим отношение $\frac{N_t}{N_0}$:

$\frac{N_t}{N_0} = 2^{0.18t}$

Подставив $t=12$, получаем:

$\frac{N_{12}}{N_0} = 2^{0.18 \cdot 12} = 2^{2.16} \approx 4.475$

Теперь вычислим процентный прирост:

$\text{Процентный прирост} \approx (4.475 - 1) \cdot 100\% = 3.475 \cdot 100\% = 347.5\%$

Ответ: процентный прирост популяции тигров составит 347.5%.